Применение методов математической статистики при создании опытных партий на техническом предприятии

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 
ПРИ СОЗДАНИИ ОПЫТНЫХ ПАРТИЙ 
НА ТЕХНИЧЕСКОМ ПРЕДПРИЯТИИ

Учебное пособие

Йошкар-Ола

2023

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.172я73

П 75

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор А. И. Павлов

(Поволжский государственный технологический университет);

кандидат технических наук, доцент А. А. Медяков

(Поволжский государственный технологический университет).

Печатается по решению

редакционно-издательского совета ПГТУ

П 75
Применение методов математической статистики при созда-

нии опытных партий на техническом предприятии: учебное пособие / 
О. С. Зверева, О. И. Разинская, Н. А. Крутских, О. Н. Стародубцева. – 
Йошкар-Ола: Поволжский государственный технологический 
университет, 2023. – 86 с.
ISBN 978-5-8158-2372-3

В учебном пособии рассмотрены статистические методы планиро-

вания эксперимента и математическая обработка результатов опытов. Показано 
практическое применение данных методов при разработке технологических 
процессов получения материалов для машиностроения.

Для студентов технических направлений подготовки и специальностей.

УДК 519.2(075.8)

ББК 22.172я73

ISBN 978-5-8158-2372-3
© Зверева О. С., Разинская О. И.,
Крутских Н. А., Стародубцева О. Н., 2023
© Поволжский государственный
технологический университет, 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................4

1. ОДНОФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ....................................9

1.1. Общие сведения.............................................................................. 9

1.2. Результаты однофакторного эксперимента

и методы их обработки ....................................................................... 10

1.3. Методы определения параметров эмпирической функции... 25

2. ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ..........................34

2.1. Общие сведения............................................................................ 34

2.2. Свойства матриц полного факторного эксперимента........... 37

2.3. Обработка результатов эксперимента при равномерном 

дублировании опытов ......................................................................... 39

3. ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ........................57

3.1. Общие сведения............................................................................ 57

3.2. Оценка результатов эксперимента............................................ 66

3.2.1. Проверка гипотезы о нормальном распределении 

результатов эксперимента...........................................................67

3.2.2. Проверка на наличие грубых погрешностей ..................70

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ....................................................................77

ПРИЛОЖЕНИЕ ....................................................................................78

ВВЕДЕНИЕ

Для запуска в производство детали из любого материала необ-

ходимо создать опытную партию, причем для этого следует провести 
большое количество экспериментов для разработки или оптимизации 
технологического процесса. Если на предприятии имеется 
опыт производства изделий из подобных материалов, то предварительный 
технологический процесс уже существует, и его только 
нужно доработать. Если данного опыта нет, то вначале мы смотрим 
на опыт, опубликованный в справочной и научной литературе, и на
основе ее анализа определяем порядок технологических операций. 
На этапе разработки технологический процесс строится на оборудовании 
и оснастке, имеющихся на предприятии. В редких случаях 
оборудование закупается, а оснастка заказывается, но только если 
это будет экономически обосновано. Итак, мы определились с этапами 
технологического процесса, оборудованием и оснасткой, осталось 
установить оптимальные режимы технологического процесса,
которые нам неизвестны.

Встает вопрос: что является показателем «оптимальности» (па-

раметром оптимизации) исследуемого технологического процесса 
или отдельной его операции? Параметр оптимизации должен быть 
количественным, доступным для измерения и выражаться одним 
числом. Если измерение параметра невозможно, то пользуются ранговой 
оценкой. Ранг — это оценка параметра оптимизации по заранее 
выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной, десятибалль-
ной и т. п. Ранговый параметр имеет ограниченную дискретную область 
определения. В простейшем случае область содержит два значения: 
да–нет; хорошо–плохо; брак–годные детали и т. д. При прочих 
равных условиях предпочтение необходимо отдавать количественному 
измерению, производимому на мерительном оборудовании, 
испытательных машинах и т.д.

При этом к параметру оптимизации, являющемуся объектом 

исследования, предъявляют следующие требования:

• воспроизводимости, при многократном повторении опыта 

его результат имеет разброс значений, не превышающий некоторой 
заданной величины, установленной заказчиком или руководством 
предприятия (например, твердость материала должна находиться 
в пределах НВ 180…210);

• управляемости, когда все элементы, влияющие на параметр 

оптимизации, − факторы (температура, время, давление прессования 
и т.д.) можно менять в определенных пределах, находящихся 
в промежутке от минимального до максимального значения.

Если все факторы, кроме одного, фиксированы на принятых 

уровнях и значения данного фактора определенным образом изменяют 
в области его существования от минимального до максимального, 
и в зависимости от этого фактора определяется параметр 
оптимизации, то данный эксперимент является однофак-
торным. При однофакторном эксперименте устанавливается 
степень влияния каждого переменного фактора в отдельности на 
исследуемый процесс.

Факторы должны быть: 
1) управляемыми: позволяющими экспериментатору устанав-

ливать их требуемые значения и поддерживать их постоянными в 
течение опыта; 

2) непосредственно воздействующими на объект исследова-

ния, так как трудно управлять фактором, который является функцией 
других факторов; 

3) совместимыми: все комбинации уровней факторов должны 

быть осуществимы и безопасны; 

4) независимыми: позволяющими экспериментатору устанав-

ливать требуемые уровни любого фактора независимо от уровней 
других факторов.

Если нам необходимо сразу определить влияние нескольких 

факторов на параметр оптимизации, то эксперимент является 
многофакторным. 

Для изучения многофакторных систем наиболее целесообраз-

ным является применение статистических методов планирования 
эксперимента. Под планированием эксперимента понимают процесс 
определения числа и условий проведения опытов, необходимых 
и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой 
точностью. Эффективность использования статистических методов 
планирования эксперимента при исследовании технологических 
процессов объясняется тем, что многие важные характеристики 
этих процессов являются случайными величинами, распределения 
которых близко следуют нормальному закону.

Результаты как однофакторного, так и многофакторного экс-

перимента используют для получения математической модели исследуемого 
процесса. При планировании эксперимента под математической 
моделью часто понимают уравнение, связывающее 
параметр оптимизации с факторами. Такое уравнение называют 
также функцией отклика.

Для наглядности рассмотрим конкретный пример.
На предприятии технологу выдано техническое задание – вы-

пустить партию фрикционных вкладышей с требуемыми физико-
механическими, триботехническими и эксплуатационными характеристиками.


Дано:
1) состав композиции: полимер реактопластичный, наполненный 

неметаллическими волоконными и дискретными наполнителями;

2) требуемые свойства материала: интервал рабочих значений 

коэффициента трения, твердости, предела прочности на изгиб.

Представим, что опыта производства изделий из композицион-

ного материала на предприятии нет и мы на основе анализа литературы 
предположили, что наиболее очевидный технологический процесс 
представляет собой такую последовательность: просушивание 

материалов (если нам известно об их гигроскопичности), навеска материалов, 
их смешивание и прессование. Технологический процесс 
кажется простым, и встает вопрос: а о каких больших количествах 
экспериментов говорилось? Давайте рассмотрим поэтапно: 

1. Просушивание – необходимо узнать оптимальную темпера-

туру и минимальное время для сушки в выбранном сушильном 
оборудовании (при этом необходимо выбрать и само оборудование, 
а оно определяется по производительности и температуре
настройки), причем время сушки будет меняться в зависимости от 
объема материала в сушильной камере.

2. Навеска материала – никаких экспериментов в данном 

случае не надо, следует выбрать оптимальное весовое оборудование, 
отвечающее точности навески.

3. Смешивание – нужно узнать порядок смешивания материа-

лов (можно ли сразу поместить всю навеску в чашу смесительного 
оборудования и произвести замес или необходимо поэтапное введение 
материалов, чтобы получить более высокую однородность 
смеси) и оптимальное время смешивания.

4. Прессование – необходимо определить оптимальное давление 

прессования, температуру пресс-формы, время выдержки материла 
под давлением и температурой, так как у нас по заданию реактопласт.

Устанавливаем по каждому пункту параметр оптимизации:
п.1: для установки оптимальной температуры и времени про-

сушки выбираем массу материала, так как чем выше влажность материала, 
тем больше его масса, останавливаем эксперимент тогда, когда 
масса материала перестанет изменяться или примет предварительно 
назначенную величину, определенную по справочной литературе. 
Данная задача решается в ходе однофакторного эксперимента;

п.3: для определения однородности смеси на предприятиях 

применяются следующие способы:

1) исследование излома материала на наличие агломератов и 

равномерность распределения волокон и частиц порошков. Если 

видны скопления, значит материал неоднороден, но в данном случае 
мы опираемся на органы чувств, что при анализе экспериментальных 
данных нежелательно;

2) измерение твердости композиционного материала по по-

верхности детали (ее замеряем на твердомере по HB), чем однороднее 
показатели твердости, тем выше качество смешивания. 
Данная задача решается в ходе однофакторного эксперимента;

п.4: оптимальное давление прессования, температуру пресс-

формы и время выдержки материла под давлением устанавливаем:
по значению плотности, твердости, коэффициента трения и других
заявленных заказчиком свойств материала в ходе проведения многофакторного 
эксперимента.

1
ОДНОФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Суть однофакторного эксперимента: 
• все факторы, кроме одного, фиксированы на принятых 

уровнях;

• значения данного фактора определенным образом изменя-

ются в области его существования;

• в зависимости от этого фактора определяется параметр оп-

тимизации.

Данный эксперимент целесообразно проводить, когда этап 

технологического процесса зависит от изменения в определенном 
диапазоне одного параметра процесса: температуры, времени, давления, 
скорости и т.д.

Для компенсации влияния случайных погрешностей каждый 

опыт рекомендуется повторить m раз. Опыты, повторенные несколько 
раз при одних и тех же значениях факторов, называют параллельными. 
Обычно число m параллельных опытов принимают 
равным 2-3, иногда – 4-5. 

Для реализации однофакторного эксперимента необходимо 

выполнить следующие пункты:

1) поставить задачу эксперимента: точно установить, какую 

зависимость необходимо получить в результате проведения эксперимента;


2) определить оборудование и оснастку для реализации за-

дачи, метрологическое оборудование и мерительные инструменты
для определения параметра оптимизации эксперимента;

3) произвести оценку результатов эксперимента.

1.2. РЕЗУЛЬТАТЫ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

И МЕТОДЫ ИХ ОБРАБОТКИ

Для оценки результата эксперимента применяют:
1) таблицы, заполняющиеся в следующем формате:

Опытные данные
Параметр оптимизации

𝑥1
𝑥2
𝑥3
…..
𝑥𝑖�

𝑖�1
𝑖�2
𝑖�3
𝑖�ср

Здесь 𝑖�1, 𝑖�2, 𝑖�3 – параллельные опыты и их среднее значение 𝑖�ср.

Преимущества таблиц: простота заполнения.
Недостатки: сложность оценки результатов, так как нет воз-

можности наглядно характеризовать закономерности изучаемого 
процесса.

После проведения эксперимента проверяется гипотеза о ста-

тистической однородности опытов с целью исключения резко вы-
деляющихся результатов наблюдений в выборке по критерию Кох-
рена, определив его расчетное значение:

𝐹�𝑖� =

𝑆𝑖� 𝑖�𝑎𝑥

2

∑
𝑆𝑖�

2
𝑖�
𝑖�=1
.

где 𝑆𝑖� 𝑖�𝑎𝑥

2
– максимальное значение дисперсии 𝑖�-той серии опытов;

∑
𝑆𝑖�

2
𝑖�
𝑖�=1
– сумма всех дисперсий.

Расчетное значение сравнивается с табличным 𝐹�𝑖�,𝑖�, приводи-

мым в справочниках. Рекомендуется брать значение 𝐹�𝑖�,𝑖�, соответ-
ствующее уровню значимости 𝛼 = 0,05. Число степеней свободы 
равно 𝑖� = 𝑖� − 1.

Если выполняется условие 𝐹�𝑖� ≤ 𝐹�𝑖�,𝑖�, то полагают, что опыты 

воспроизводимы (статистически однородны). Если 𝐹�𝑖� > 𝐹�𝑖�,𝑖�, 

необходимо попытаться добиться воспроизводимости устране-
нием причин нестабильности, а также использованием более точ-
ных методов и средств измерений. Значения 𝐹�𝑖�,𝑖� для уровня зна-
чимости 𝛼 = 0,05 приведены в таблице 1.

Таблица 1. Значения критерия Кохрена (уровень значимости 𝜶 = 𝟎, 𝟎𝟒�)

𝑖�
𝑖� = 𝑖� − 1

1
2
3
4
5
6
7
8

2
0,999
0,975
0,939
0,906
0,877
0,853
0,833
0,816

3
0,967
0,871
0,793
0,746
0,707
0,677
0,653
0,633

4
0,907
0,768
0,684
0,629
0,590
0,560
0,637
0,518

5
0,841
0,684
0,593
0,544
0,507
0,478
0,456
0,439

6
0,781
0,616
0,532
0,480
0,445
0,418
0,398
0,382

7
0,727
0,561
0,480
0,431
0,397
0,373
0,354
0,338

8
0,680
0,516
0,438
0,391
0,360
0,336
0,319
0,304

9
0,639
0,478
0,403
0,358
0,329
0,307
0,290
0,277

10
0,602
0,445
0,373
0,331
0,303
0,282
0,267
0,254

12
0,541
0,392
0,326
0,288
0,262
0,244
0,230
0,219

15
0,471
0,335
0,276
0,242
0,220
0,203
0,191
0,182

20
0,389
0,271
0,221
0,192
0,174
0,160
0,150
0,142

2) графический метод.
Графическое изображение опытных данных дает наглядное 

представление о результатах эксперимента, позволяет выявить об-
щий характер функциональной зависимости.

При графическом изображении опытных данных (рисунок 1)

рекомендуется придерживаться следующих правил:

1. Опытные данные наносятся в виде точек и иных значков в 

прямоугольной системе координат.

2. Минимальные значения аргумента и функции располагают 

вблизи осей координат, начало отсчета не обязательно размещать 
в пределах чертежа.

3. Масштаб следует выбирать так, чтобы опытные точки 

(по возможности) располагались по отношению к осям координат