Математическое моделирование процессов в компонентах природы

А. Г. Поздеев                    Ю. А. Кузнецова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПРОЦЕССОВ 

В КОМПОНЕНТАХ ПРИРОДЫ

Учебное пособие

Йошкар-Ола

2023

УДК 517.8 (07)
ББК  22.16

П 47

Р е ц е н з е н т ы :

В. Г. Котлов, доктор технических наук, профессор ПГТУ;
А. Г. Турлов, кандидат технических наук, доцент ПГТУ

Печатается по решению

редакционно-издательского совета ПГТУ

Поздеев, А. Г.

П 47
Математическое моделирование процессов в компонентах 

природы: учебное пособие / А. Г. Поздеев, Ю. А. Кузнецова. –
Йошкар-Ола: Поволжский государственный технологический 
университет, 2023. – 112 с.
ISBN 978-5-8158-2375-4

При изучении процессов математического моделирования в тех-

ногенных и природных объектах используются не только методы математического 
анализа, но и методы информационных технологий, 
что расширяет кругозор студентов в постановке и решении задач математического 
и естественнонаучного характера. В частности, все 
расчетные задачи в данном учебном пособии реализованы в прикладном 
программном пакете MathCad. 

Для студентов направления подготовки 20.04.02 «Природообу-

стройство и водопользование» (магистерская программа «Обустройство 
акваторий гидротехнических сооружений»).

УДК 517.8 (07)

ББК  22.16

ISBN 978-5-8158-2375-4
© Поздеев А. Г., Кузнецова Ю. А., 2023
© Поволжский государственный
технологический университет, 2023

Предисловие

Дисциплина «Математическое моделирование процессов в ком-

понентах природы» относится к обязательной части учебного плана 
по направлению подготовки 20.04.02 «Природообустройство и водопользование» (
магистерская программа «Обустройство акваторий 
гидротехнических сооружений»).

Необходимым условием освоения данной дисциплины является

знание студентами основных положений математического анализа, 
прикладной механики, гидравлики, метрологии и стандартизации. 
Содержание дисциплины является логическим продолжением содержания 
таких дисциплин, как «Математика», «Физика», «Механика», 
«Гидравлика» и служит основой для освоения проектирования водохозяйственных 
систем, способов очистки природных и сточных вод, 
организации и технологии работ по природообустройству и водопользованию.


Цель освоения теоретической части дисциплины – получение зна-

ний о принципах математического моделирования процессов освоения 
материальных и энергетических ресурсов водохранилищ.

Прикладным результатом изучения курса является приобретение 

студентами навыков в выполнении автоматизированных расчетов 
гидрогеологических и гидрологических процессов, моделей типа 
«Осадки – сток», реологических моделей систем «Среда – рабочий 
орган», неустановившегося движения в трубах и сосудах, мягких оболочек 
для защиты нижних бьефов гидроузлов, диффузии и теплопроводности, 
задач системы «Хищник – жертва».

Учебное пособие предназначено для магистрантов, изучающих 

курс «Математическое моделирование процессов в компонентах природы». 
В нем представлены листинги программ в среде MathCad, полезные 
при освоении прикладных расчетных задач.

Введение

Учебное пособие предназначено для изучения дисциплины «Ма-

тематическое моделирование процессов в компонентах природы» и
относится к основной части цикла профессиональных дисциплин 
направления подготовки магистратуры 20.04.02 «Природообустройство 
и водопользование» (магистерская программа «Обустройство акваторий 
гидротехнических сооружений»).

Цель освоения теоретической части дисциплины «Математиче-

ское моделирование процессов в компонентах природы» – получение 
знаний о свойствах природных компонентов для прогноза их изменения 
при антропогенных воздействиях, процессов массо- и теплопереноса 
в природных средах, поступления и трансформации веществ в 
компонентах природы. 

Прикладным результатом изучения курса является приобретение 

навыков применения методов математического моделирования природных 
процессов, построения детерминированных и вероятностных 
моделей природных процессов, возникающих при природообустройстве 
и водопользовании, использования информационных технологий 
при изучении процессов математического моделирования в техногенных 
и природных объектах.

В состав учебного пособия включены пять разделов, численные 

расчеты в которых реализованы, как правило, в прикладной среде 
MathCad.

В первом разделе раскрыты принципы математического модели-

рования, структура и виды моделей, особенности моделирования разнообразных 
природных процессов, возникающих при природообустройстве 
и водопользовании.

Во втором разделе изложены методы моделирования явлений в 

гидрогазодинамике.

В третьем разделе рассмотрены принципы математического мо-

делирования процессов химической технологии.

Четвертый раздел посвящен изучению теории вероятностей и ма-

тематической статистики, теории случайных ошибок, методов подбора 
эмпирических формул, оценки адекватности теоретических решений. 
В нем представлены примеры автоматизации решения основных 
задач статистики.

В пятом разделе приведены сведения о математическом моде-

лировании техногенных систем, системах компьютерного моделирования.


В конце книги представлены контрольные вопросы по каждому 

разделу, которые помогут систематизировать изученный материал, а 
также приведен обширный список литературы для самостоятельной 
работы по освоению дисциплины.

1

ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО 

МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1. Основные этапы 

математического моделирования

Последовательность, определяющая проведение этапов проце-

дуры вычислительного эксперимента, включает прежде всего разработку 
схем техногенных и природных процессов, под которыми понимаются 
процессы, явления или отдельные ситуации в какой-либо 
природной или технической системе [11].

На первом этапе осуществляется неформальный переход от рас-

сматриваемого техногенного или природного процесса к его расчетной 
схеме. Иногда вместо расчетной схемы используют термин «содержательная 
модель техногенного или природного процесса», а в некоторых 
случаях – схемы, разработанные с помощью специальных 
приемов и символов наглядного графического изображения.

Содержание второго этапа заключается в математическом опи-

сании расчетной схемы. Это описание в виде математических соотношений, 
устанавливающих связь между параметрами, характеризующими 
расчетные схемы технических объектов, называют математической 
моделью. Для ряда типовых расчетных схем существуют банки 
математических моделей, что упрощает проведение второго этапа.

На третьем этапе проводится качественный и количественный 

анализ построенной математической модели. Количественные
оценки могут дать основания упростить модель, исключив из рассмотрения 
некоторые параметры, соотношения или их отдельные составляющие, 
несмотря на то что влияние описываемых ими факторов 
учтено в расчетной схеме. В некоторых случаях удается построить несколько 
математических моделей для техногенных или природных 

процессов, отличающихся различным уровнем упрощения. В этом 
случае говорят об иерархии математических моделей.

Четвертый этап состоит в обоснованном выборе метода количе-

ственного анализа математических моделей, в разработке эффективного 
алгоритма вычислительного эксперимента, а пятый этап – в создании 
работоспособной программы, реализующей этот алгоритм 
средствами вычислительной техники. 

Получаемые на шестом этапе результаты вычислений должны 

прежде всего пройти тестирование путем сопоставления с данными 
количественного анализа упрощенного варианта математической 
модели рассматриваемого процесса. Анализ результатов вычислений 
и их инженерная интерпретация могут вызвать необходимость 
в корректировке расчетной схемы и соответствующей математической 
модели.

После устранения всех выявленных недочетов триаду «модель –

алгоритм – программа» можно использовать в качестве рабочего инструмента 
для проведения вычислительного эксперимента и выработки 
на основе получаемой количественной информации практических 
рекомендаций, направленных на совершенствование моделей 
техногенных или природных процессов, что составляет содержание 
седьмого этапа, завершающего «технологический цикл» математического 
моделирования.

1.2. Понятие математической модели

Понятие математической модели, как и ряд других понятий, ис-

пользуемых в математическом моделировании, не имеет строгого 
формального определения [24]. Тем не менее в это понятие вкладывают 
вполне конкретное содержание, с которым, в частности, тесно 
связано применение математики в инженерной практике. Более того, 
такие научные дисциплины, как механика, физика и их многочисленные 
разделы, являются, по существу, упорядоченными множествами 
математических моделей, построение которых сопровождается теоретическим 
обоснованием адекватного отражения этими моделями 
свойств рассматриваемых процессов и явлений. Именно посредством 

математических моделей научные дисциплины взаимодействуют с 
математикой.

Этапы развития многих естественнонаучных направлений в по-

знании законов природы и в совершенствовании техники – это построение 
последовательности все более точных и более полных математических 
моделей изучаемых процессов и явлений. Однако история 
науки знает не только случаи последовательного уточнения той 
или иной математической модели, но и случаи отказа от некоторых 
математических моделей вследствие расхождений прогнозируемых 
ими результатов с реальностью.

Адекватная математическая модель является, как правило, боль-

шим научным достижением. Она позволяет провести детальное исследование 
изучаемого объекта и дать надежный прогноз его поведения 
в различных условиях. Но за адекватность математической модели 
нередко приходится расплачиваться ее усложнением, что вызывает 
трудности при ее использовании. В этом случае на помощь математике 
и приходит современная вычислительная техника, существенно 
расширившая класс математических моделей, допускающих 
исчерпывающий количественный анализ.

Одни и те же математические модели находят различные прило-

жения. Например, закон Ньютона притяжения двух материальных тел 
и закон взаимодействия двух точечных электрических зарядов при соответствующем 
выборе единиц измерения физических величин выражаются 
одинаковыми зависимостями. При помощи одной и той же 
математической модели, содержащей уравнение Пуассона, можно 
изучать установившиеся процессы течения жидкости и распространения 
теплоты, деформацию мембраны, механические напряжения при 
кручении бруса, фильтрацию нефти в пласте, влаги в почве, диффузии 
примеси в воздухе или эпидемии в регионе [11].

Такую общность и универсальность математических моделей

можно объяснить тем, что в математике используют абстрактные основополагающие 
понятия, немногочисленные, но весьма емкие по содержанию. 
Это позволяет конкретные факты из самых различных областей 
знаний рассматривать как проявление этих понятий и 

отношений между ними. Совокупность таких понятий и отношений,
выраженных при помощи системы математических символов и обозначений 
и отражающих некоторые свойства изучаемого объекта,
называют математической моделью этого объекта. В данном случае 
математика выступает, по существу, в роли универсального языка 
науки. Его универсальность французский математик Анри Пуанкаре 
определил всего одной фразой: «Математика – это искусство называть 
разные вещи одним и тем же именем».

1.3. Структура математической модели

В общем случае техногенные или природные процессы количе-

ственно характеризуются векторами внешних, внутренних и выходных 
параметров. Одни и те же физические, механические или информационные 
характеристики техногенных или природных процессов в 
моделях различного уровня и содержания могут быть внешними, 
внутренними и выходными параметрами.

При создании техногенных или природных процессов значения 

выходных параметров или диапазоны их возможного изменения оговаривают 
в техническом задании на разработку модели процесса, тогда 
как внешние параметры характеризуют условия его функционирования [
30].

Если модель позволяет вычислять выходные параметры по зада-

ваемым значениям внешних и внутренних параметров, то решается 
прямая задача. В инженерной практике решение прямой задачи часто 
называют поверочным расчетом. При создании моделей техногенных 
или природных процессов возникает необходимость решать 
более сложную обратную задачу, в которой приходится по обусловленным 
техническим заданием на проектирование объекта значениям 
внешних и выходных параметров находить его внутренние параметры. 
В инженерной практике решению обратной задачи соответствует 
так называемый проектный расчет, часто имеющий целью 
оптимизацию внутренних параметров по некоторому критерию оптимальности.

1.4. Свойства математических моделей

Из сказанного ранее следует, что при изучении реально суще-

ствующего или мыслимого технического объекта математические 
методы применяют к его математической модели. Это применение 
будет эффективным, если свойства математической модели удовлетворяют 
определенным требованиям. Рассмотрим основные из этих 
свойств [11].

Полнота математической модели позволяет отразить в достаточ-

ной мере именно те характеристики и особенности техногенного или 
природного процесса, которые интересуют нас с точки зрения поставленной 
цели проведения вычислительного эксперимента. Например, 
модель может достаточно полно описывать протекающие в объекте 
процессы, но не отражать его габаритные, массовые или стоимостные 
показатели.

Точность математической модели дает возможность обеспечить 

приемлемое совпадение реальных и найденных при помощи математической 
модели значений выходных параметров техногенного или 
природного процесса.

Адекватность математической модели – это способность мате-

матической модели описывать выходные параметры проектируемого 
объекта с относительной погрешностью не более некоторого заданного 
значения.

В более общем смысле под адекватностью математической мо-

дели понимают правильное качественное и достаточно точное количественное 
описание именно тех характеристик проектируемого 
объекта, которые важны в данном конкретном случае. Модель, 
адекватная при выборе одних характеристик, может быть неадекватной 
при выборе других характеристик того же проектируемого 
объекта.

Экономичность математической модели оценивают затратами 

на вычислительные ресурсы, необходимые для реализации математической 
модели. Эти затраты зависят от числа арифметических 
операций при использовании модели, от размерности пространства 
фазовых переменных, от особенностей применяемой ЭВМ и других 
факторов.