Теория и методика обучения математике в средней школе (общая методика)

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА 

ОБУЧЕНИЯ  

МАТЕМАТИКЕ  

В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ 

(общая методика)

УЧЕБНОЕ  ПОСОБИЕ

М.И. ДЕНИСОВА

Москва
РИОР

ИНФРА-М

УДК 372.851
ББК 74.262.21
 
Д33

Денисова М.И.

Теория и методика обучения математике в средней школе (общая мето-

дика) : учебное пособие / М.И. Денисова. — Москва : РИОР : ИНФРА-М, 
2024. — 166 с. — (Высшее образование). — DOI: doi.org/10.29039/02014-9

ISBN 978-5-369-01931-3 (РИОР)
ISBN 978-5-16-018931-4 (ИНФРА-М, print)

Учебное пособие написано на основе лекций, много лет читавшихся 

автором студентам Рязанского государственного университета имени 
С.А. Есенина, и соответствует требованиям федерального государственного 
образовательного стандарта высшего образования.

В основе пособия лежит деятельностный подход к процессу обучения. 

Достоинством учебного издания является практическая направленность 
изложенного материала, чему способствует обилие приводимых автором 
примеров.  

Предназначено для студентов вузов, обучающихся преподаванию 

математики в средней школе, методистов, осуществляющих указанную 
подготовку, а также учителей математики средних школ.

УДК 372.851
ББК 74.262.21

Д33

ISBN 978-5-369-01931-3 (РИОР)
ISBN 978-5-16-018931-4 (ИНФРА-М, print)

А в т о р :

 Денисова М.И.— канд. пед. наук, доцент, Почетный работник высшего про-

фессионального образования РФ, Заслуженный учитель Российской Федерации


Р е ц е н з е н т ы :
Мордкович А.Г. — д-р пед наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ, 

Лауреат премии Президента РФ в области образования;

Жилякова Л.Ю. — д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник Инсти-

тута проблем управления РАН (Москва)

Художественное оформление обложки — Л.Ю. Жилякова

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

©  Денисова М.И.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От автора  ..........................................................................................................................................5

Введение  ..........................................................................................................................................6

Глава 1.  
Цели обучения математике в средней школе ...........................................8

Глава 2.  
Обучение математике как обучение деятельности..............................11

Глава 3.  
Организация стадии мотивации.  
Проблемное обучение математике  ............................................................14

§ 3.1.  Формы подачи проблемного задания ....................................................17
§ 3.2.  Способы создания проблемных ситуаций. ............................................19
§ 3.3.  Структура проблемного урока .................................................................24
§ 3.4.  Уровни проблемного обучения ...............................................................25

Глава 4.  
Организация индуктивного (эвристического) этапа  
обучения математике .........................................................................................29

§ 4.1.  Индукция и ее применение в обучении математике ............................30
§ 4.2.  Наблюдение и опыт как основа индукции .............................................33
§ 4.3.  Требования к применению индукции .....................................................37
§ 4.4.  Обучение через решение задач ..............................................................41
§ 4.5.  Аналогия и ее применение в обучении математике ............................48

Глава 5.  
Организация дедуктивной стадии  
обучения математике (стадии формализации) .....................................50

§ 5.1.   Проблема обучения доказательству теорем .........................................50
§ 5.2.   Методика убеждения школьников в необходимости  

логического доказательства ................................................................... 54

Денисова М.И. Теория и методика обучения математике в средней школе

§ 5.3.  Обучение поиску и открытию доказательства  

(анализ и синтез как методы поиска доказательства) ........................ 58

§ 5.4.  Обучение построению доказательства ..................................................67
§ 5.5.  Методика отработки доказательства теоремы .....................................71

Глава 6.  
Формирование математических понятий ................................................76

§ 6.1.   Понятие, объем и содержание понятия, отношения  

между понятиями ...................................................................................... 76

§ 6.2.  Определение понятия, формально-логическое  

определение понятия ............................................................................... 78

§ 6.3.  Требования к формально-логическому определению понятия .......... 80
§ 6.4.  Другие виды определений .......................................................................84
§ 6.5.  Методика введения определений ..........................................................88
§ 6.6.  Отработка введенного понятия ..............................................................95

Глава 7.  
Логическая структура школьного курса математики  
и методика изучения ее основ .......................................................................98

§ 7.1. Неопределяемые понятия и методика их введения ..............................98
§ 7.2. Методика изучения аксиом ....................................................................102

Глава 8.  
Задачи в обучении математике.  
Организация этапа приложений ................................................................109

§ 8.1.  Роль и функции задач в обучении математике ...................................109
§ 8.2.  Задачи с дидактическими функциями .................................................111
§ 8.3.  Задачи с развивающими функциями ...................................................116
§ 8.4.  Задачи с познавательными функциями ..............................................119
§ 8.5.  Ключевые задачи в обучении математике ..........................................121
§ 8.6.   Методические особенности работы учителя с текстовыми  

задачами, решаемыми составлением уравнения ..............................130

§ 8.7.  Организация процесса решения математической задачи ................136

БИБЛИОГРАФИЯ.......................................................................................................................156

Список трудов автора по проблематике работы ............................................160

ОТ АВТОРА

Эта книга никогда не была бы издана, если бы не прослушавшие 
предлагаемый курс лекций бывшие студенты, а ныне учителя математики 
рязанских (и не только!) школ, которые побуждали меня 
к ее написанию, если бы не вдохновляли и даже не настаивали на 
этом мои друзья и последователи.

Говоря об этом, я прежде всего считаю своим долгом поблаго-

дарить моего самого близкого друга, когда-то ученицу, а затем многолетнюю 
коллегу по кафедре, вместе со мной внедрявшую предлагаемый 
в этой книге подход к обучению, Наталию Арсениевну 
Беспалько. Именно она взяла на себя огромный труд по подготовке 
книги к публикации и ее напечатанию. Однако важно и то, с какой 
воодушевляющей верой в значимость этой книги она побуждала 
меня к ее написанию.

Вторым человеком, кому эта книга обязана своим появлением, 

является учитель математики гимназии № 5 города Рязани, кандидат 
педагогических наук Власова Светлана Александровна. Именно 
ею осуществлен основной труд по подготовке рукописи к публикации, 
но не только! Она продолжила разработку концепции 
деятельностного подхода к обучению математике в своих научных 
исследованиях и успешно реализует его как учитель и как преподаватель 
кафедры математики РГУ имени С.А. Есенина. В своей кандидатской 
диссертации, защищенной в 2010 году, и в последующих 
работах ей удалось развить и обогатить эту концепцию, разработав 
генетический подход к обучению математике.

Благодарю за поддержку и внимание к этому труду и всех буду-

щих читателей моей книги! 

Посвящается человеку, чья дружба 

освещала и согревала мою жизнь, моей 
ученице, коллеге и самому близкому другу 
Наталии Арсениевне Беспалько.

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие написано на основе курса лекций, много лет читавшихся 
его автором в Рязанском государственном университете 
имени С.А. Есенина, и предназначено для подготовки будущих 
учителей к преподаванию математики в средней школе, но может 
быть использовано учителями-практиками и методистами, осуществляющими 
их подготовку.

Содержание курса составляет теория, цель которой — показать 

будущему учителю методическую концепцию процесса обучения 
математике в целом (общая методика) и ее конкретным разделам 
в частности (частная методика).

Анализ традиционно реализуемых методических курсов выяв-

ляет следующие наиболее существенные и распространенные их 
недостатки:

1. Отсутствие единой методической концепции, лежащей в ос-

нове курса, что превращает его в совокупность не связанных 
между собой рекомендаций, как преподавать ту или 
иную тему курса. Не вызывает сомнений, что при рецептурной 
методике невозможно подготовить творчески мыслящего 
учителя, способного самостоятельно решать постоянно 
меняющиеся задачи обучения. 

2. Изолированность методики от ее методологических, ди-

дактических и психологических основ, приводящая к разрозненности 

отдельных 
методических 
рекомендаций, 

к тому, что они не объективны и не обоснованы никакой 
общей идеей, не способны дать будущему учителю представления 
об их логике и тем самым сформировать у него 
способность к самостоятельному поиску решения методических 
проблем, ключ к такого рода поискам.

Введение

3. Неудовлетворительное освещение методов обучения, как 

общих, разработанных в дидактике и конкретизированных 
с учетом специфики обучения математике, так и специальных, 
отражающих методы познания, используемые самой 
математикой.

Предлагаемое пособие ориентировано на устранение отмечен-

ных недостатков. Оно направлено на обеспечение будущих учителей 
математики достаточно общей и гибкой методической подготовкой, 
предполагающей знание теоретических основ обучения 
и умение применять их к различным конкретным темам школьного 
курса математики при использовании различных школьных 
учебников (с этой целью данное пособие не привязано к какому-то 
одному, т.е. определенному учебнику). 

В условиях стремительно меняющихся стандартов обучения, 

разнообразия как профилей, так и используемых учебников учитель 
должен иметь представление об общей модели процесса обучения, 
владеть ключом к решению многочисленных методических 
задач, возникающих в его работе.

Указанная цель может быть успешно достигнута при использо-

вании деятельностной концепции процесса обучения.

Отталкиваясь от современной трактовки приоритетных целей 

обучения, позволяющей наиболее естественным путем выстроить 
модель обучения математике как обучения математической деятельности, 
мы, как показывает наш более чем полувековой опыт, 
получаем именно такой курс методики преподавания математики, 
который обеспечивает учителя эффективным инструментом для 
самостоятельного и творческого решения проблем обучения.

Глава 1.  
ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

«Цель определяет средства», «Цель оправдывает средства» — эти 
крылатые изречения известны давно, их приписывают Никколо 
Макиавелли (1469–1532), Томасу Гоббсу (1588–1679), Герману Бу-
зенбауму (1600–1668), Блезу Паскалю (1623–1662). Одно лишь 
перечисление этих имен убеждает нас в важности этой мысли. Так, 
Блез Паскаль (в своих «Письмах к провинциалу») писал: «Мы исправляем 
порочность средств чистотой цели».

В обучении математике от выбора цели обучения зависит выбор 

методов обучения, а это значит — и его результативность.

В программах по математике для средней школы, так же как 

и в первых государственных образовательных стандартах, достаточно 
долго в качестве первой, то есть приоритетной цели обучения, 
заявлялось овладение конкретными математическими знаниями, 
необходимыми для применения в практической деятельности, 
изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Переориентацию ведущей цели математического образования 

мы впервые встречаем в «Концепции математического образования 
в 12-летней школе» [19], где в качестве первой цели математического 
образования заявлено интеллектуальное развитие учащихся, 
формирование у них качеств мышления, характерных для математической 
деятельности и необходимых человеку для 
полноценной жизни в обществе. И наконец, в требованиях Федерального 
государственного образовательного стандарта (далее — 
ФГОС) по математике в качестве основного результата математического 
образования названо развитие личности учащихся и, как 
механизм достижения этой целевой установки, — системно-дея-
тельностный подход к обучению [52, 53].

Глава 1. Цели обучения математике в средней школе 

9

Указанная выше концепция выделяет две генеральные функции 

школьного математического образования: образование с помощью 
математики и собственно математическое образование. В сложившейся 
системе школьного математического образования долгое 
время была доминирующей функция собственно математического 
образования, однако пересмотр ведущей цели обучения, направленный 
на развитие интеллектуального уровня личности и, следовательно, 
общества в целом, привел к усилению социальной значимости 
образования с помощью математики.

Говоря об обучении математике, мы можем иметь в виду как 

обучение началам математической теории, являющейся результатом 
мыслительной деятельности многих поколений математиков, 
так и обучение определенным аспектам мыслительной деятельности, 
приводящей к таким результатам и характерной для деятельности 
в математике.

Мы исходим из того, что обучение математике есть обучение 

математической деятельности, что и составляет концепцию обучения, 
положенную в основу данного курса.

В качестве примера рассмотрим доказательство теорем. Что яв-

ляется целью школьного доказательства? Если учесть, что каждая 
из теорем, изучаемых в школьном курсе геометрии, давно доказана, 
ясно, что его целью является не само доказательство, а обучение 
ему, его поиску, открытию и построению, что, как будет показано 
далее, важно для формирования у школьников эвристического, 
аналитико-синтетического и дедуктивного мышления.

Точно так же решение каждой отдельно взятой школьной мате-

матической задачи вряд ли является самоцелью, а призвано служить 
целям обучения школьников методам поиска и открытия 
общих приемов их решения.

Переориентация ведущей цели обучения принципиально меня-

ет позиции и характер действующих в нем лиц.

При установке обучения на такой конечный результат, как все-

го лишь усвоение курса, обучение математике в сущности является 
лишь трансляцией готового знания, а учитель — посредником 
в его передаче ученику. И хотя учитель в этом процессе фигура активная — 
субъект процесса обучения — ведь ему приходится ре-

Денисова М.И. Теория и методика обучения математике в средней школе

шать постоянно возникающие методические проблемы, роль ученика 
в этом случае пассивна, он всего лишь объект обучения. 

Методы обучения при указанной установке имеют репродук-

тивный, догматический характер и рассчитаны в основном на запоминание 
и воспроизведение транслируемого знания. Однако, 
как известно, заученное быстро забывается, а ведь что-то должно 
остаться с человеком по выходе его из школы, и тут нелишне 
вспомнить остроумную мысль Макса Лауэ: «Образование есть то, 
что остается, когда все выученное уже забыто». Что же должно 
остаться?

На этот вопрос отвечает другая концепция обучения, в которой 

конечная ставка делается не на усвоение готового знания, а на интеллектуальное 
развитие школьника, на формирование у него качеств 
мышления, характерных для деятельности в математике.

При установке на эту цель, как на ведущую, математическая 

теория, входящая в программы по математике, перестает быть самоцелью, 
а становится средством формирования мышления детей, 
методы обучения — формирующими личность, а потому активными, 
продуктивными, ученик из объекта обучения превращается 
в его субъект, ибо обучение, при котором мы формируем мышление, 
характерное для деятельности в математике, может быть реализовано 
лишь в деятельности самого ученика.

Таким образом, установка на указанную цель, как на приори-

тетную, приводит к использованию особого подхода к обучению, 
при котором мы делаем акцент не на обучение математике как результату 
чьей-то деятельности, а на обучение деятельности, которая 
может приводить к таким результатам. Такой подход к организации 
процесса обучения называют деятельностным.

Глава 2.  
ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ КАК ОБУЧЕНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Реализация деятельностного подхода к организации процесса обучения 
возможна лишь на основе анализа структуры познавательной 
деятельности, ее закономерностей и методов. Структурный 
анализ природы познавательной деятельности позволяет получить 
модель этой деятельности в целом и для ее различных видов в обучении 
математике — формирования понятий, обучения доказательству 
теорем и обучения решению математических задач.

Указанная модель имеет процессуальный характер и выявляет 

необходимые этапы данной деятельности, используемые на них 
методы познания и закономерности их применения. 

Гносеологический и психолого-педагогический анализ показы-

вает, что начальным этапом любой познавательной деятельности 
является ее мотивация, за ней идет эвристическая (опытно-индуктивная) 
стадия, или стадии открытия, затем дедуктивная (стадия 
формализации, или логической организации материала, зачастую 
в обучении неоправданно идущая первой), и завершается этот процесс 
этапом приложений, то есть применением теории на практике. 

В соответствии с указанными стадиями структурирован и наш 

курс — каждая из них составляет один из его разделов.

Такое построение процесса обучения одновременно решает 

одну из самых актуальных проблем обучения — проблему его активизации. 


Степень активности школьника в процессе обучения определя-

ется соотношением между двумя ведущими его факторами — деятельностью 
учителя и деятельностью самого школьника. Подлинная 
активность школьника предполагает включение его самого 
в деятельность по приобретению новых знаний, его личное участие 
в их поиске и открытии. Основой такого обучения является не 
усвоение готового знания, а собственная учебно-познавательная 

Денисова М.И. Теория и методика обучения математике в средней школе

12

деятельность школьника, овладение им методами познания, техникой 
понимания, способами деятельности. 

Может возникнуть вопрос: не скажется ли отрицательно такая 

установка на конечном усвоении вводимого математического факта? 
Приведем пример.

Рассмотрим введение теоремы о свойстве средней линии тра-

пеции (8 класс, учебник А.В. Погорелова).

Сравним два подхода к ее 

изложению (рис. 1).

При первом учитель сразу 

сообщает формулировку теоремы (
после чего в лучшем случае 
просит учащихся вычленить, 
что в ней дано и что требуется 
доказать). Далее, в соответствии 
с текстом учебника, предлагает 

провести на чертеже прямую BP до ее пересечения с продолжением 
прямой AD и рассмотреть треугольники PBC и PED. 

Навязав дополнительные построения и первые шаги доказа-

тельства, учитель лишает учащихся возможности понять их происхождение 
и логику: зачем мы соединяем эти точки, зачем проводим 
эту прямую? Для чего, почему мы рассматриваем эти треугольники? 
Как додумались до этих шагов те, кто придумал это доказательство, 
и как научиться додумываться до этого нам самим? 

На такие вопросы это изложение не отвечает. Для создания ил-

люзии активности учитель, навязав начало доказательства, обычно 
спрашивает детей, что можно сказать об этих треугольниках и почему, 
то есть задает классу вопросы, на которые дети ответить могут, 
но логику которых не понимают.

Таким образом, минуя действительно глубокие и важные вопро-

сы доказательства, мы добиваемся лишь одного: доказательство 
приходится заучить и запомнить. И в итоге оно ничему не учит.

Покажем другой подход.
Прежде всего, мы обеспечим мотивацию самой теоремы, для 

чего вспомним хотя бы свойство средней линии треугольника, что, 
кстати, облегчит детям понимание логики доказательства вводи-

A 

Q 

B 
C 

P 

E 
D 

Рис. 1