Олимпиадная математика. Задачи на игры и инварианты с решениями и указаниями. 5-7 класс

ЗАДАЧИ
НА ИГРЫ И ИНВАРИАНТЫ
с решениями и указаниями 

Москва
Лаборатория знаний
2023

Под редакцией 
М. В. Федотова

ОЛИМПИАДНАЯ
МАТЕМАТИКА

Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов

5–7 
классы

Электронное издание

УДК 373.167.1:519
ББК 22.171я721.6
З-80

Золотарёва Н. Д.
З-80
Олимпиадная математика. Задачи на игры и инварианты

с
решениями
и
указаниями.
5–7
классы : 
учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарё-
ва, М. В. Федотов ; под редакцией М. В. Федотова. —
Электрон. изд. — М. : Лаборатория знаний, 2023. —
195 с. — (ВМК
МГУ — школе). — Систем.
требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-668-1
Настоящее пособие составлено на основе олимпиадных
задач по математике преподавателями факультета ВМК МГУ
имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретический
материал,
подборку
задач,
а
также
указания
и
решения
к большинству задач.
Рекомендуется школьникам 5–7 классов, интересующимся 
олимпиадными задачами, учителям математики, руководителям 
кружков и факультативов.
УДК 373.167.1:519
ББК 22.171я721.6

Деривативное издание на основе печатного аналога: Олимпиадная 
математика. Задачи на игры и инварианты с решениями 
и указаниями. 5–7 классы : учебно-методическое
пособие / Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов ; под редакцией
М. В. Федотова. — М. : Лаборатория знаний, 2023. — 192 с. :
ил. — (ВМК МГУ — школе). — ISBN 978-5-93208-372-7.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-668-1
© Лаборатория знаний, 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Часть I. Теория и задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1. Инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1.1. Чётность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1.2. Остатки от деления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

1.3. Алгебраическое выражение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18

1.4. Раскраска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

1.5. Полуинвариант
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

2. Игры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

2.1. Фатальные игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

2.2. Использование симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37

2.3. Делимость и разбиение на пары
. . . . . . . . . . . . . . . . .
42

2.4. Выигрышные и проигрышные стратегии. Анализ
с конца
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

3. Турниры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

Часть II. Указания и решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

1. Инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

1.1. Чётность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

1.2. Остатки от деления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

1.3. Алгебраическое выражение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85

1.4. Раскраска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95

1.5. Полуинвариант
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2. Игры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.1. Фатальные игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.2. Использование симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Оглавление

2.3. Делимость и разбиение на пары
. . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2.4. Выигрышные и проигрышные стратегии. Анализ
с конца
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3. Турниры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

ОТ РЕДАКТОРА

Уважаемый читатель, вы держите в руках одну из книг серии
«ВМК МГУ — школе». Учебно-методические пособия, входящие
в эту серию, являются результатом более чем пятнадцатилетнего
труда
коллектива
авторов,
работающих
на
подготовительных
курсах факультета вычислительной математики и кибернетики
(ВМК) МГУ имени М. В. Ломоносова.
Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии, информатике
и физике старшеклассникам для подготовки к ЕГЭ, олимпиадам
и вступительным экзаменам в вузы. Недавно вышли пособия по
математике для подготовки к ГИА для девятиклассников.
Но
мы
не
хотим
останавливаться
только
на
стандартных
задачах, необходимых для сдачи ГИА, ЕГЭ и экзаменов в вузы.
Мы хотим, чтобы школьники с младших классов и до окончания 
школы могли решать задачи повышенной сложности —
олимпиадные задачи, на которые у учителя, как правило, не
остаётся времени на обычном уроке математики. Большинство
книг по этой тематике выходит без разбивки по классам либо
без разбивки по темам. Многие хорошие книги с олимпиадными
задачами
вышли
давно
и
с
тех
пор
не
переиздавались.
Мы
собрали большое количество задач из различных старых и не
очень старых сборников олимпиадных задач и предлагаем их
вам.
Настоящее
пособие
рассчитано
на
5–7
классы
и
является
шестым в серии пособий по олимпиадным задачам. Будет ещё
одна книга для 5–7 классов. Параллельно мы уже ведём работу
над сборником задач для 8–9 классов. Завершат серию, конечно
же, пособия для 10–11 классов.
Большинство олимпиадных задач, особенно для 5–7 классов, не
намного сложнее обычных школьных задач по математике. Поэтому 
не бойтесь их. Они только все вместе выглядят страшными,
а каждая задача по отдельности вполне вам по силам. Берите их
и решайте. Дорогу осилит идущий.

Заместитель декана по учебной работе
факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М. В. Ломоносова,
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание 
методов решения задач, примеры применения методов и набор 
заданий для решения. Задачи в разделах в основном расположены 
по принципу «от простого — к сложному». Аналогичная 
ситуация имеет место и с последовательностью изложения,
поэтому сами разделы и задачи в них рекомендуется изучать
в предложенном порядке. Приступать к решению задач надо после 
изучения соответствующего теоретического материала и разбора 
примеров.
После номера задачи в скобках приведены классы, которым
эта задача была предложена на олимпиаде. Однако это разделение 
на классы довольно условно. Понятно, что если задачу
давали в 5 классе, то её можно давать и в 6–7 классах, часто
наоборот: задача, которую давали на олимпиаде для 6–7 классов, 
вполне по силам пятиклассникам. Поэтому, придерживаясь
рекомендаций в скобках, относитесь к ним творчески. Кстати,
распределение задач по темам тоже не всегда однозначно. Одну
и ту же задачу можно было отнести к разным темам.
В принципе, по этому пособию можно заниматься три года: 
в 5 классе пройти по всем разделам, выбирая задачи для
5 класса, в 6 классе — снова пройти по всем разделам, выбирая
задачи для 6 класса, и т. д. А можно пройти и за более короткий 
срок: за два года, если вы начали заниматься в 6 классе,
или за один год, если вы уже в 7 классе.

Рекомендуется
школьникам
5–7
классов,
интересующимся
олимпиадными задачами, учителям математики, руководителям
кружков и факультативов.

Желаем удачи!

Часть I. ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ

1.
Инварианты

В этом разделе приведены задачи, в которых некоторая величина (
или свойство) не меняется при некотором преобразовании
(или системе действий). Эта величина (свойство) называется инвариантом. 
Такие задачи, как и задачи на принцип Дирихле,
относятся к логическим задачам.
Если в задаче инвариант может принимать только два значения, 
то от одного нельзя перейти к другому. Инвариантом
может быть чётность, остаток от деления, некоторое алгебраическое 
выражение из величин, входящих в задачу, и т. д.

1.1. Чётность

Теоретический материал

В этом разделе собраны задачи, в которых инвариантом является 
чётность какой-то величины. Часто эту величину надо
создать, для этого используется сумма или произведение чисел,
разбиение на пары, обнаружение чередования состояний и т. д.

Примеры решения задач

Пример 1. На столе стоят семь перевёрнутых стаканов. Разрешается 
одновременно переворачивать любые два стакана. Можно
ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

Р е ш е н и е.
Заметим,
что
при
перевёртывании
любых
двух
стаканов не меняется чётность перевёрнутых стаканов. Действительно, 
возможны три варианта:
1) если перевернуть два стакана, стоящих вверх дном, то их
количество уменьшится на два, т. е. чётность не изменится;
2) если перевернуть два стакана, стоящих правильно, то количество 
перевёрнутых стаканов увеличится на два, т. е. их чётность
не изменится;

Часть I. Теория и задачи

3) если перевернуть один стакан, стоящий правильно, а другой,
стоящий вверх дном, то общее количество перевёрнутых стаканов 
не изменится, а следовательно, не изменится и их чётность.
Поскольку изначально было нечётное число (семь) перевёрнутых 
стаканов, то после каждой операции их будет оставаться
нечётное число. Значит, нельзя добиться того, чтобы все стаканы 
стояли правильно.

О т в е т. Нет.

Замечание. В этой задаче инвариантом выступает нечётность
перевёрнутых стаканов.

Пример 2.
В ряд растут 8 яблонь. Число яблок на соседних
деревьях отличается на 1. Может ли на всех яблонях вместе
быть 225 яблок?

Р е ш е н и е. Заметим, что если два натуральных числа отличаются 
на единицу, то одно из них чётное, а другое нечётное.
Поэтому
сумма
яблок
на
каждой
паре
соседних
деревьев —
нечётное
число.
Всего
четыре
пары
яблонь.
Чётная
сумма
нечётных чисел — чётное число. Поэтому на всех яблонях не
может быть 225 яблок.

О т в е т. Не может.

Замечание. В этой задаче в качестве инварианта выступает
чётность суммы чётного числа нечётных слагаемых.

Пример 3. Максим по одной достаёт и складывает в две стопки
чёрные и красные карточки. Класть карточку на другую карточку 
того же цвета запрещено. Десятая и одиннадцатая карточки
были красные, а двадцать пятая — чёрная. Какого цвета была
двадцать шестая карточка?

Р е ш е н и е. Так как десятая и одиннадцатая карточки были
одного
цвета,
то
они
оказались
в
разных
стопках.
То
есть
сверху в обеих стопках лежат красные карточки.
Рассмотрим следующие 14 карточек (с двенадцатой по двадцать

пятую).
Пусть
n
из
них
положены
в
одну
стопку,
а
остальные
14 − n — в
другую.
Так
как
числа
n
и
14 − n
одной
чётности,
то
после
выкладывания
этих
карточек,
т. е.
после выкладывания 25-й карточки, верхние карты в стопках
опять должны быть одного цвета.

1. Инварианты
9

Поэтому, если 25-я карточка была чёрной, то в обеих стопках
сверху лежат чёрные карточки и следующая карточка должна
быть красной.

О т в е т. Красная.

Замечание. В этой задаче в качестве инварианта выступает
одинаковая чётность чисел n и 14 − n.

Задачи

1.

5
а) Доказать,
что
сумма
(разность)
двух
целых
чисел
одинаковой чётности чётна.
б) Доказать, что сумма (разность) двух целых чисел разной
чётности нечётна.
в) Доказать, что сумма чётного числа нечётных слагаемых
чётна.
г) Доказать, что сумма нечётного числа нечётных слагаемых
нечётна.

2.

5-6 Можно ли доску 5 Ч 5 заполнить костяшками домино
размером 1 Ч 2?

3.

5-6 Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную
точку (длина прыжка постоянна и равна 1 м). Доказать, что
он сделал чётное число прыжков.

4.

5
Можно ли 25 рублей разменять десятью купюрами по
1, 3 и 5 рублей?

5.

6
Кузнечик прыгает на 1 см, затем прыгает на 3 см в том
же или в противоположном направлении, затем в том же
или противоположном направлении на 5 см и т. д. Может
ли он после 25-го прыжка оказаться в исходной точке?

6.

5-6 Девять шестерёнок зацеплены по кругу: первая со второй, 
вторая с третьей и т. д., девятая с первой. Могут ли
они вращаться? А если шестерёнок будет десять?

7.

5-6 а) Даны шесть чисел:
1, 2, 3,
4,
5,
6.
Разрешается
к любым двум из них прибавлять по 1. Можно ли все числа
сделать равными?
б) Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20.
Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый 
или прибавляет к числу, или отнимает от него единицу. 
Может ли в результате получиться число 10?

Часть I. Теория и задачи

8.

5-6 Произведение 22 целых чисел равно 1. Доказать, что их
сумма не равна 0.

9.

5-6 а) На столе стоят шесть стаканов. Из них пять стаканов
стоят правильно, а один перевёрнут донышком вверх. Разрешается 
одновременно переворачивать любые два стакана.
Можно ли все стаканы поставить правильно?
б) На столе стоят 16 стаканов. Из них 15 стаканов стоят
правильно, а один перевёрнут донышком вверх. Разрешается 
одновременно переворачивать любые четыре стакана.
Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы
правильно?

10.

5-6 В языке Древнего Племени алфавит состоит всего из
двух букв: «М» и «О». Два слова являются синонимами,
если одно из другого можно получить при помощи исключения 
или добавления буквосочетаний «МО» и «ООММ», повторяемых 
в любом порядке и любом количестве. Являются
ли синонимами в языке Древнего Племени слова «ОММ»
и «МОО»?

11.

5-6 а) Доказать, что любая ось симметрии 1997-угольника
(если она существует) обязательно проходит через какую-
либо его вершину.
б) Может
ли
прямая,
не
проходящая
через
вершины
11-звенной замкнутой ломаной, пересекать все её рёбра?

12.

6
а) Вдоль забора растут 6 кустов малины. Число ягод на
соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах
вместе быть 160 ягод? Не забудьте обосновать свой ответ.
б) Петя купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал 
все её страницы по порядку числами от 1 до 192.
Вася вырвал из этой тетради какие-то 25 листов и сложил
все
50
чисел,
которые
на
них
написаны.
Доказать,
что
у него не могла получиться сумма 1990.
в) Страницы
книги
пронумерованы
подряд,
от
первой
до
последней.
Хулиган
Вася
вырвал
из
разных
мест
книги
35
листов
и
сложил
номера
всех
семидесяти
вырванных
страниц.
У
него
получилось
число
1994.
Когда
об
этом
узнал
Коля,
он
заявил,
что
при
подсчёте
Вася
ошибся.
Объясните, почему Коля действительно прав.

13.

6-7 Сумма пяти чисел равна 200. Доказать, что их произведение 
не может оканчиваться на 1999.

14.

6
а) Два мудреца написали на семи карточках числа от 5
до
11.
После
этого
они
перемешали
карточки;
первый
мудрец
взял
себе
три
карточки,
второй
взял
две,
а
две

1. Инварианты
11

оставшиеся
карточки
они,
не
глядя,
спрятали
в
мешок.
Изучив
свои
карточки,
первый
мудрец
сказал
второму:
«Я
знаю,
что
сумма
чисел
на
твоих
карточках
чётна!»
Какие
числа
написаны
на
карточках
первого
мудреца?
Единственный ли ответ в этой задаче?
б) Два
мудреца
написали
на
семи
карточках
числа
от
2
до 8. После этого они перемешали карточки; первый мудрец
взял себе три карточки, второй взял две, а две оставшиеся 
карточки они, не глядя, спрятали в мешок.
Изучив
свои карточки, первый мудрец сказал второму: «Я знаю,
что сумма чисел на твоих карточках чётна!» Какие числа
написаны на карточках первого мудреца? Единственный ли
ответ в этой задаче?

15.

6
На доске написано число 12. В течение каждой минуты
число либо умножают, либо делят на 2 или на 3, и результат 
записывают на доску вместо исходного числа. Доказать,
что число, которое будет написано на доске ровно через час,
не будет равно 54.

16.

6
На доске написано несколько знаков «+» и «−». Разрешается 
стереть любые два знака и написать вместо них «+»,
если они одинаковы, и «−», если они разные. Доказать, что
последний на доске знак не зависит от порядка, в котором
производились стирания.

17.

6
а) Можно ли составить из цифр 1, 2, . . . , 9 такое девя-
тизначное число, что между 1 и 2 стоит нечётное число
цифр, между 2 и 3 — также нечётное, . . . , между цифрами
8 и 9 — нечётное число цифр?
б) Всегда
ли
можно
расставить
по
росту
1997
человек,
если разрешается переставлять любых двух людей, стоящих
только через одного?
в) 100 фишек поставлены в ряд. Разрешается менять местами 
любые две фишки, стоящие через одну. Можно ли таким
способом переставить фишки в обратном порядке.

18.

6-7 Даны пять чисел.
Сумма любых
трёх
из них
чётна.
Доказать, что все числа чётны.

19.

6-7 В
6-м «Б»
классе
обучаются
20
учеников.
В
первой
четверти они по трое дежурили по классу. Могло ли так
получиться, что в некоторый момент каждый из учеников
отдежурил с каждым ровно по одному разу?

20.

6-7 Набор (b1, . . . , b7) является перестановкой набора целых
чисел (a1, . . . , a7). Доказать, что число (a1 − b1) · . . . · (a7 − b7)
чётное.

Часть I. Теория и задачи

21.

6
На волшебной яблоне выросли 3 банана и 4 апельсина.
Если сорвать один из плодов, то вырастет такой же; если
одновременно сорвать 2 одинаковых плода, вырастет апельсин, 
а если одновременно сорвать 2 разных плода, вырастет
банан.
В
каком
порядке
надо
срывать
плоды,
чтобы
на
яблоне
остался
ровно
один
плод?
Можно
ли
определить,
какой это будет плод? Можно ли срывать плоды так, чтобы
на яблоне ничего не осталось?

22.

6
а) 30 пятаков лежат гербом вверх. Разрешается за один
раз перевернуть любые 29 из них. Можно ли за несколько
раз перевернуть все пятаки гербом вниз?
б) 15 пятаков лежат гербом вверх. Разрешается за один раз
перевернуть любые 14 из них. Можно ли за несколько раз
перевернуть все пятаки гербом вниз?

23.

7
а) Из
листа
картона
вырезали
несколько
одинаковых
правильных треугольников. В вершинах каждого написали
цифры 1, 2 и 3. Затем их сложили в стопку. Могло ли
оказаться так, что сумма чисел вдоль каждого ребра стопки
равна 55? А может ли эта сумма равняться 50?
б) Имеется 99 копий правильного 101-угольника, вершины
каждой
из
которых
занумерованы
по
порядку
числами
от 1 до 101. Можно ли сложить эти 99 многоугольников
в стопку (их можно и переворачивать) так, чтобы суммы
чисел вдоль рёбер стопки были одинаковы?

24.

7
На скамейке сидят десять школьников, мальчики и девочки.

Может
ли
быть
так,
что
между
каждыми
двумя
мальчиками сидит чётное число школьников, а между каждыми 
двумя девочками — нечётное?

25.

7
Каждый из трёх человек выписал 100 различных слов.
После этого слова, встречающиеся не менее двух раз, вычеркнули. 
В результате у одного осталось 45 слов, у другого — 
68, а у третьего — 54. Доказать, что по крайней мере
одно слово выписали трое.

26.

7
На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 19, 20. Разрешается 
стереть любые два числа, a и b, и вместо них написать
число a + b − 1. Какое число может остаться на доске после
19 таких операций?

27.

7
В
клетках
квадратной
таблицы
10 Ч 10
произвольным

образом
расставлены
числа
от
1
до
100.
Пусть
S1, S2, . . . , S10 — суммы чисел, стоящих в столбцах таблицы. 
Могло ли оказаться так, что среди чисел S1, S2, . . . , S10
любые два соседних числа различаются ровно на 1?