Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ:

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Москва

Вузовский учебник — ИНФРА-М

2024

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

И.В. Орлова

В.А. Половников

Допущено Учебно-методическим объединением 

по образованию в области статистики

в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся 
по специальности «Статистика» и другим

экономическим специальностям

Третье издание, переработанное и дополненное

УДК 338(075.8)
ББК 65.23я73
 
О66

Орлова И.В. 
      Экономико-математические методы и модели: компьютерное 
моделирование : учебное пособие / И.В. Орлова, В.А. Половников . — 
3-е изд., перераб. и доп. — Москва : Вузовский учебник : 
ИНФРА-М, 2024. — 389 с.

ISBN 978-5-9558-0208-4 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-004897-0 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-101114-0 (ИНФРА-М, online)

Рассмотрены задачи математического моделирования экономических процессов 
на базе компьютерных технологий подготовки и принятия решений. 
В качестве инструментального средства моделирования используется стандартная 
офисная программа Excel. Изложены основные математические 
понятия и методы, используемые в экономике: матричная алгебра, методы 
оптимизации и решение оптимизационных задач, основы корреляционно-рег-
рессионного анализа, математическое моделирование и анализ экономических 
процессов, представленных временными рядами.

Для студентов и аспирантов экономических специальностей и направлений 

«Экономика» и «Менеджмент» при изучении ими курсов «Экономико-мате-
матические методы и модели», «Методы оптимальных решений», «Математи-
ческие методы в экономике» и «Эконометрика», при выполнении выпускных 
квалификационных работ, а также для практических работников, занима-
ющихся анализом текущего финансово-экономического состояния и будущего 
развития фирм и предприятий.

О66

УДК 338(075.8)

ББК 65.23я7

© Вузовский учебник, 

2011

ISBN 978-5-9558-0208-4 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-004897-0 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-101114-0 (ИНФРА-М, online)

Авторы: 
И.В. Орлова (главы 1–3, кроме подпараграфов 3.5.4, 3.5.5, приложения);
В.А. Половников (подпараграфы 3.5.4, 3.5.5)
Рецензенты: 
кафедра «Исследование операций» Московского государственного 
 университета экономики, статистики и информатики (зав. кафедрой 
проф. И.Н. Мастяева);
д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры «Высшая и прикладная математика» 
Московского государственного университета пищевых продуктов 
В.В. Угрозов

Предисловие

Данное учебное пособие продолжает серию учебных изданий, 
предназначенных для развития у студентов практических навыков 
применения методов экономико-математического моделирования 
при решении конкретных экономических и финансовых задач с 
использованием компьютерных технологий. В книге представлена 
практическая технология компьютерного моделирования эконо-
мических систем, необходимая для понимания причинно-след-
ственных связей в экономике, прогнозирования, планирования и 
принятия решений менеджерами.
Отличительной особенностью книги является то, что в ней из-
ложены не только математические методы, но и возможность для 
их применения табличного процессора Microsoft Excel. Microsoft 
Excel позволяет реализовывать некоторые методы оптимизации, 
анализа временных рядов и корреляционно-регрессионный ана-
лиз. Несмотря на наличие других пакетов, в том числе специали-
зированных, этот продукт является наиболее доступным, поэтому 
его применяют при решении многих прикладных задач и в качестве 
вспомогательного средства в дисциплинах, читаемых на кафедре 
экономико-математических методов и моделей. 
Учебное пособие составлено в соответствии с требованиями 
государственных образовательных стандартов подготовки специа-
листов по специальностям «Бухгалтерский учет и аудит», «Менедж-
мент», «Финансы и кредит», «Маркетинг», «Экономика труда», 
«Государственное и муниципальное управление» и направлениям 
«Экономика», «Менеджмент».
Пособие состоит из трех глав. 
В первой главе «Применение матричной алгебры при решении 
экономических задач» рассмотрена технология выполнения опе-
раций над матрицами в среде Excel, приведены методы решения 
систем линейных уравнений. Глава содержит описание метода «за-
траты — выпуск» и примеры построения моделей международной 
торговли и межотраслевого баланса.
Во второй главе «Оптимизационные методы и модели» подроб-
но рассмотрена технология решения задач оптимального исполь-
зования ресурсов и специальных задач линейного программиро-
вания (транспортная задача, задача о назначениях, задачи цело-
численного программирования) с помощью надстройки Excel 

Поиск решения. Большое внимание уделено анализу полученных 
оптимальных решений с помощью двойственных оценок. 
Особое внимание уделено эконометрике. В третьей главе «Эконометрические 
модели» приведены базовые понятия и методы 
эконометрики. Даны примеры построения моделей линейной и 
нелинейной регрессии, производственных функций. В этой главе 
рассмотрены возможности Excel для анализа и прогнозирования 
временных рядов. Детально описаны особенности применения 
важнейших специальных инструментов Пакета анализа, предназначенных 
для моделирования количественного и графического 
анализа. Примеры решения задач включают фрагмент или полный 
текст рабочего документа Excel, снабженный комментариями и 
краткими указаниями, помогающими реализовать решение задачи 
на компьютере.
Дополнительные теоретические сведения для более глубокого 
изучения того или иного раздела можно получить из книг, приведенных 
в списке литературы.
Учебное пособие включает в себя теоретическую часть, практические 
рекомендации по решению каждого типа задач, набор 
упражнений и контрольных вопросов для самостоятельной работы, 
что в значительной мере упрощает процесс усвоения материала и 
подготовки студентов к экзаменам.

Глава 1  
Применение матричной алгебры  
при решении экономических задач

1.1. Матрицы и действия  
над МатрицаМи

Матрицей А = (aij)m,n называется прямоугольная таблица чисел, 
содержащая m строк и n столбцов:

A

a
a
a
a
a
a

a
a
a

n

n

m
m
mn

=














11
12
1

21
22
2

1
2

...
...
...
...
...
...
...






.

Числа аij, i
m
= 1,
; j
n
= 1, , составляющие данную матрицу, назы-
ваются ее элементами: i — номер строки матрицы; j — номер 
столбца.
Если m = n, то матрица называется квадратной порядка n.
Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие на глав-
ной диагонали, равны единице (aii = 1, i
n
= 1, ), а остальные элемен-
ты — нулю, называется единичной:

E =



















1
0
0
0
1
0

0
0
1

...
...
...
...
...
...
...

.

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором-
строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, — вектором-
столбцом.
Две матрицы А = (аij)m,n и В = (bij)m,n равны, если равны их соот-
ветствующие элементы, т.е. А = В тогда и только тогда, когда 
aij = bij, i
m
= 1,
; j
n
= 1, .

Суммой двух матриц А = (аij)m,n и В = (bij)m,n называется матрица 
С = А + В, элементы которой сij равны сумме соответствующих эле-
ментов аij и bij матриц А и В.

Произведением матрицы А = (аij)m,n на число α называется мат-
рица В = αА, элементы которой bij равны

b
a
i
m j
n
ij
ij
=
=
=
α
,
,
;
, .
1
1

Матрица (-А) = (-1)А называется противоположной матрице А. 
Если матрицы А и В о д и н а к о в ы х  размеров, то их разность 
равна

А - В = А + (-В).

Произведением матрицы А порядка m × k на матрицу В порядка 
k × n называется матрица С = АВ порядка m × n, элементы которой 
сij равны

c
a b
a b
a b
i
m j
n
ij
i
j
i
j
ik kj
=
+
+
+
=
=
1 1
2 2
1
1
...
,
,
;
, .

Из данного выражения следует правило умножения матриц: что-
бы получить элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го 
столбца матрицы С, необходимо все элементы i-й строки матри-
цы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матри-
цы В и полученные произведения сложить.

Произведение двух матриц н е  к о м м у т а т и в н о, т.е. в общем 
случае АВ ≠ ВА. Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются ком-
мутативными. Так, единичная матрица Е коммутативна с любой 
квадратной матрицей того же порядка, причем АЕ = ЕА = А.

Пример 1.1.1. Найти произведение АВ матриц

A
B
= 



= 



2
3
5
1
4
6
7
8
,
.

Р е ш е н и е:

AB = 


 ⋅ 


 =
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+ ⋅
⋅
+ ⋅




2
3
5
1
4
6
7
8
2 4
3 7
2 6
3 8
5 4
1 7
5 6
1 8 = 



29
36
27
38 .

Пример 1.1.2. Найти произведение АВ матриц

A
B
=
−
−




=
−













3
2
1
4
2
0

2
5
1
1
3
2
4
0
5
,
.

Р е ш е н и е:

AB =
− ⋅
+
⋅ −
+ ⋅
− ⋅
+
⋅
+ ⋅
− ⋅ +
⋅
+ ⋅

⋅
+ −
⋅ −
+
⋅

3 2
2
1
1 4
3 5
2 3
1 0
3 1
2 2
1 5

4 2
2
1
0

(
)

(
) (
)
4
4 5
2
3
0 0
4 1
2
2
0 5

4
9
6

10
14
0

⋅
+ −
⋅
+
⋅
⋅ + −
⋅
+
⋅



 =

= −
−





(
)
(
)

.

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы 
на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, 
замена столбцов матрицы на ее строки). Обозначение транспони-
рованной матрицы: А′, Ат.
Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие 
по определенному закону некоторое число, называемое определи-
телем, или детерминантом, n-го порядка этой матрицы. Начнем 
с определителей второго и третьего порядков.
Пусть дана матрица

A
a
a
a
a
= 



11
12

21
22
,

тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле

∆2
11
12

21
22
11 22
12 21
=
=
−
a
a
a
a
a a
a a .

Пример 1.1.3. Вычислить определитель матрицы А: 

A = 



4
6
7
8 .

Р е ш е н и е:

|A| = 4 ⋅ 8 - 6 ⋅ 7 = -10.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

∆3

11
12
13

21
22
23

31
32
33

11 22 33
21 32 13
12 23

=
=

=
+
+

a
a
a
a
a
a
a
a
a

a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
31
13 22 31
11 23 32
12 21 33
−
−
−
.

Пример 1.1.4. Вычислить определитель матрицы В: 

B =
−














2
5
1
1
3
2
4
0
5
.

Р е ш е н и е: 

|B| = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 + (-1) ⋅ 0 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 ⋅ 4 - 1 ⋅ 3 ⋅ 4 - 2 ⋅ 2 ⋅ 0 - 5 ⋅ (-1) ⋅ 5 = 83.

Вычисление определителей n-го порядка производится на осно-
вании свойств определителей и следующей теоремы: определитель 
равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их 
алгебраические дополнения:

A
a A
a A
a A
i
i
i
i
in
in
=
+
+
+
1
1
2
2
...
.

Алгебраическое дополнение Аij элемента aij равно

Аij = (-1)i+jMij,

где Мij — минор элемента аij, получаемый путем вычеркивания в 
определителе |A| i-й строки и j-го столбца.
Минором порядка r матрицы А называется определитель Mr, 
составленный из элементов, расположенных на пересечении 
r строк и r столбцов матрицы. Минор Mr, расположенный в 
 п е р в ы х  r строках и в п е р в ы х  r столбцах, называется угловым 
или главным минором.

Пример 1.1.5. Вычислить два минора второго порядка матри-
цы A:

A =














1
2
3
5
4
3
0
1
2
.

Р е ш е н и е. Первый минор M2 расположен на пересечении пер-
вой и третьей строк и второго и третьего столбцов:

M2
2
3
1
2
1
=
= ;

второй минор M2 является главным минором второго порядка. Он 
расположен на пересечении первых двух строк и первых двух 
столбцов:

M2
1
2
5
4
6
=
= − .

Квадратная матрица А-1 порядка n называется обратной к мат-
рице А, если она удовлетворяет соотношению

A
A
AA
E
−
−
=
=
1
1
.

Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной 
(неособенной), если ее определитель отличен от нуля. В противном 
случае матрица А называется вырожденной (особенной).
Для всякой невырожденной матрицы А = (аij) существует 
е д и н с т в е н н а я  обратная матрица, равная

A
A A
− =
1
1
*,

где А* — присоединенная матрица, (i, j)-й элемент которой есть 
алгебраическое дополнение Aji элемента aji матрицы А:

A

A
A
A
A
A
A

A
A
A

n

n

n
n
nn

*

...
...
...
...
...
...
...

=











11
21
1

12
22
2

1
2







.

Первый способ нахождения обратной матрицы рассмотрим на 
конкретном примере.

Пример 1.1.6. Вычислить обратную матрицу для матрицы A:

A = 



4
6
7
8 .

Р е ш е н и е. Определитель матрицы |A| = 4 ⋅ 8 - 6 ⋅ 7 = -10 ≠ 0.
Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, для 
матрицы А существует единственная обратная матрица. Вычислим 
присоединенную матрицу А*:

A11 = 8,  A12 = -7,  A21 = -6,  A22 = 4,

т.е. 

A*
.
=
−
−




8
6
7
4

Тогда

A− = −
−
−



 =
−
−
−
−
−
−
















=
−
1
1
10
8
6
7
4

8
10
6
10
7
10
4
10

0 8
0 6
0
,
,
,
,
.
7
0 4
−





Проверкой убеждаемся, что АА-1 = Е.

Второй способ нахождения обратной матрицы. Обратную матри-
цу можно вычислить на основании следующих элементарных пре-
образований (преобразований Жордана — Гаусса) над строками 
матрицы:
• перемена местами двух строк;
• умножение строки матрицы на любое число, отличное от нуля;
• прибавление к одной строке матрицы другой строки, умножен-
ной на любое число, отличное от нуля.
Для того чтобы вычислить обратную матрицу для матрицы А, 
необходимо составить матрицу B = (A|E), затем путем элементар-
ных преобразований привести матрицу А к виду единичной матри-
цы Е, тогда на месте единичной матрицы получим матрицу А-1.

Пример 1.1.7. Вычислить обратную матрицу для матрицы А:

A =
−














1
3
4
1
0
0
2
6
12
.

Р е ш е н и е. Составим матрицу В(0) вида

B( )
.
0
1
3
4
1
0
0
1
0
0
0
1
0
2
6
12
0
0
1
=
−














Элемент b11
(0) = 1 и первую строку, содержащую данный элемент, 
назовем направляющими. Осуществим элементарные преобразова-
ния, в результате которых первый столбец преобразуется в единичный 
столбец с единицей в первой строке. Для этого ко второй и 
третьей строкам прибавим первую строку, соответственно умноженную 
на 1 и -2. В результате данных преобразований получим 
матрицу