Вероятностное моделирование в финансово-экономической области
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
НИЦ ИНФРА-М
Автор:
Лабскер Лев Григорьевич
Год издания: 2024
Кол-во страниц: 172
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-16-018749-5
ISBN-онлайн: 978-5-16-111651-7
Артикул: 039890.10.01
Доступ онлайн
В корзину
В пособии излагаются основы теории марковских случайных процессов, протекающих в системах с дискретными состояниями с дискретным и непрерывным временем, а также потоков Пуассона, Пальма и Эрланга. Иллюстрируется их применение в качестве вероятностных моделей различных финансово-экономических ситуаций. Каждый параграф пособия снабжен детально разобранными примерами, краткими выводами, вопросами для самоконтроля и заданиями с ответами для самостоятельной работы читателя.
Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту высшего образования последнего поколения.
Пособие предназначено студентам бакалавриата финансово-экономического направления, изучающим такие дисциплины, как «Экономико-математическое моделирование», «Эконометрика», «Исследование операций», «Теория массового обслуживания» и др., связанные с вероятностными моделями в управлении экономикой и бизнесом. Однако оно может быть с успехом использовано при обучении студентов специалитета, магистрантов, аспирантов и слушателей института профессиональной переподготовки соответствующих специальностей.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 38.03.01: Экономика
- 38.03.02: Менеджмент
- 38.03.05: Бизнес-информатика
- ВО - Магистратура
- 38.04.01: Экономика
- 38.04.02: Менеджмент
- 38.04.05: Бизнес-информатика
- 38.04.08: Финансы и кредит
- 38.04.09: Государственный аудит
- ВО - Специалитет
- 38.05.01: Экономическая безопасность
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
ВЕРОЯТНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ Москва ИНФРА-М 2024 УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Л.Г. ЛАБСКЕР Рекомендовано УМО по образованию в области финансов, учета и мировой экономики в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальностям: «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Налоги и налогообложение», «Мировая экономика» и «Финансы и кредит»
УДК 330(075.8) ББК 65.050я73 Л12 Лабскер Л.Г. Вероятностное моделирование в финансово-эконо- мической области : учебное пособие / Л.Г. Лабскер. — Москва : ИНФРАМ, 2024. — 172 с. — (Высшее образо- вание). ISBN 978-5-16-018749-5 (print) ISBN 978-5-16-111651-7 (online) В пособии излагаются основы теории марковских случайных процессов, протекающих в системах с дискретными состояниями с дискретным и непрерывным временем, а также потоков Пуассона, Пальма и Эрланга. Иллюстрируется их применение в качестве ве- роятностных моделей различных финансово-экономических ситуа- ций. Каждый параграф пособия снабжен детально разобранными примерами, краткими выводами, вопросами для самоконтроля и заданиями с ответами для самостоятельной работы читателя. Соответствует Федеральному государственному образовательно- му стандарту высшего образования последнего поколения. Пособие предназначено студентам бакалавриата финансово- экономического направления, изучающим такие дисциплины, как «Экономико-математическое моделирование», «Эконометрика», «Исследование операций», «Теория массового обслуживания» и др., связанные с вероятностными моделями в управлении экономикой и бизнесом. Однако оно может быть с успехом использовано при обучении студентов специалитета, магистрантов, аспирантов и слу- шателей института профессиональной переподготовки соответству- ющих специальностей. УДК 330(075.8) ББК 65.050я73 Л12 ISBN 978-5-16-018749-5 (print) ISBN 978-5-16-111651-7 (online) © Лабскер Л.Г., 2010 Р е ц е н з е н т ы: М.А. Халиков, д-р экон. наук, профессор кафедры математических методов в экономике РЭА им. Г.В. Плеханова; В.Н. Красницкий, д-р техн. наук, профессор Научно-исследо- вателького центра информатики при Министерстве иностранных дел Российской Федерации; П.Н. Брусов, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики Финансовой академии при Правительстве Российской Федерации
ПРЕДИСЛОВИЕ Марковские процессы, так же как и потоки событий Пуассона, Пальма и Эрланга, составляют один из основных разделов эконо- мико-математического моделирования, входящего в учебные про- граммы высших учебных заведений финансово-экономического профиля. Они представляют собой специальный вид вероятностных моделей различных процессов, протекающих в финансово-эконо- мических системах. Важность изучения этого раздела объясняется и тем, что марковские процессы служат базой теории массового об- служивания, различные разделы которой представляются необхо- димыми составляющими математического образования бакалавров и магистрантов экономического направления. В предлагаемом учебном пособии изложены основы теории мар- ковских процессов, протекающих в системах с дискретными состо- яниями с дискретным и непрерывным временем, а также основные понятия потоков Пуассона, Пальма и Эрланга. Дана иллюстрация их приложений в качестве вероятностных моделей к анализу различ- ных финансово-экономических ситуаций. Теоремы, следствия и вычислительные формулы снабжены де- тальными доказательствами. В конце каждого параграфа имеются «Краткие выводы», «Ключевые слова и выражения», «Вопросы для самоконтроля» и «Задания» для самостоятельной работы с ответами. Математический аппарат, используемый в пособии, в основном представляет собой некоторые разделы стандартных курсов теории вероятностей, математического анализа, теории систем однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка, комби- наторики, содержащихся в учебных программах финансово-эконо- мических высших учебных заведений. Отметим, что определения некоторых понятий и формулировки теорем содержались без доказательства и детальной проработки ма- териала в практикуме [5], предназначенном для проведения практи- ческих занятий. Пособие адресовано студентам бакалавриата финансово-эконо- мического направления, изучающим такие дисциплины, как «Эко- номико-математическое моделирование», «Эконометрика», «Иссле- дование операций», «Теория массового обслуживания» и др., связан- ные с вероятностными моделями в управлении экономикой и бизнесом. Однако оно может быть с успехом использовано при обучении студентов специалитета, магистрантов, аспирантов и слу- шателей институтов профессиональной переподготовки соответству- ющих специальностей. Имеющийся в пособии достаточно обшир-
ный библиографический список по данной тематике может облег- чить студентам процедуру подбора литературы при подготовке ими, рефератов, эссе, теоретико-практических работ, сообщений и докла- дов в рамках научно-исследовательской работы. Пособие может ока- заться неплохим подспорьем преподавателям, читающим лекции и ведущим практические занятия по соответствующим дисциплинам. Автор выражает признательность рецензентам: д-ру экон. наук, профессору кафедры математических методов в экономике РЭА им. Г.В. Плеханова М.А. Халикову, д-ру техн. наук, профессору На- учно-исследовательского центра информатики при Министерстве иностранных дел Российской Федерации В.Н. Красницкому и д-ру физ.мат. наук, профессору кафедры прикладной математики Финан- совой академии при Правительстве Российской Федерации П.Н. Брусову за замечания и конструктивные предложения, учет которых позволил улучшить изложение материала.
§ 1. ДИСКРЕТНЫЙ МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС В этом параграфе мы познакомимся с основными первоначаль- ными понятиями и соответствующей им терминологией теории марковских случайных процессов. Рассматриваемые ниже процессы обладают определенным свой- ством и представляют собой базу вероятностных моделей специаль- ного вида. Они названы марковскими по имени впервые их иссле- довавшего математика А.А. Маркова1. Напомним предварительно понятие случайной величины. Определение 1.1. Случайной величиной называется величина, кото- рая в результате опыта может принять одно из числовых значений известного множества, однако заранее неизвестно, какое именно. Определение 1.2. Случайным процессом или синонимически случай- ной функцией S(t), где t — время, называется функция, которая каж- дому моменту времени t из временного промежутка проводимого опыта ставит в соответствие единственную случайную величину S(t). Значит, аргументом случайной функции является время, а ее зна- чением — случайная величина. Таким образом, случайная функция характеризует изменение случайной величины в процессе опыта. Далее нам придется иметь дело с системами различной природы, в основном с экономическими и финансовыми. В общем случае понятие системы можно определить следующим образом. Определение 1.3. Под системой S будем понимать всякое целостное множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя расчленить на независимые подмножества. Связи между элементами системы в одну или в обе стороны могут быть как непосредственными, так и опосредованными. Например, на рис. 1.1. символически изображена система с тремя элементами a, b, c и связями между ними. При этом связь между элементами a и 1 Марков Андрей Андреевич (14.06.1856 — 20.07.1922) — выдающийся русский математик, ординарный академик Петербургской академии наук, заслу- женный профессор Петербургского университета, один из ярких предста- вителей Петербургской математической школы; основные исследования относятся к теории чисел, теории вероятностей и математическому ана- лизу.
b — непосредственная в обе стороны, т.е. изменение a влечет изме- нение b и, наоборот, связь между элементами b и c — непосредствен- ная в одну сторону (изменение элемента c влечет изменение b, но не наоборот), связь между элементами a и c — опосредованная в одну сторону, т.е. изменение элемента c влечет изменение элемента b, а это, в свою очередь, влечет изменение элемента a. Элементы системы и связи между ними изменяются, вообще го- воря, во времени и характеризуют в каждый момент времени t состо- яние S(t) системы S. Определение 1.4. Если система S с течением времени t изменяет свои состояния S(t) случайным образом, то говорят, что в системе S протекает случайный процесс. Пусть s1, s2, ..., sn, ... — возможные состояния системы S. Обычно предполагают, что данные состояния определены (качественно) так, что в любой момент времени система пребывает только в одном из них, т.е. для любого момента времени t найдется единственное со- стояние si — такое, что S(t) si. Если множество состояний не более чем счетно (т.е. конечно {s1, …, sn} или счетно {s1, …, sn, …}), то оно дискретно. Если множество состояний более чем счетно (например, имеет мощность контину- умпа), то оно непрерывно. В случае дискретного множества состояний система меняет свои состояния скачком (мгновенно). В случае же непрерывного множе- ства состояний переход системы из состояния в состояние осуще- ствляется непрерывно (постепенно, плавно). В дальнейшем мы будем рассматривать только системы с дискрет- ным множеством состояний, предполагая при этом, что в каждый фиксированный момент времени система может пребывать только в одном из своих возможных состояний. Определение 1.5. Процесс, заключающийся в том, что система с дискретным множеством состояний в некоторые моменты времени Рис. 1.1
скачком (мгновенно) перескакивает случайным образом из одного состояния в другое, называется дискретным случайным процессом. Определение 1.6. Случайный процесс, протекающий в системе S, называется марковским, если он обладает свойством отсутствия по- следействия, состоящим в том, что для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния S(t) системы S в будущем (при t t0) зависит только от ее состояния S(t0) в настоящем (при t t0) и не зависит от того, как и сколько времени развивался этот процесс в прошлом (при t t0). Свойство отсутствия последействия называют также свойством отсутствия памяти, а марковские процессы — процессами без памя- ти. В финансово-экономической практике нередко встречаются слу- чайные процессы, которые с определенной погрешностью можно считать марковскими. Для анализа дискретных случайных процессов, протекающих в системе, удобно пользоваться графами ее состояний. Определение 1.7. Под графом состояний системы мы будем пони- мать множество прямоугольников (квадратиков или кружков), условно изображающих состояния, внутри которых помещаются обозначения состояний, и множество стрелок возможных непосред- ственных переходов из состояния в состояние. Пример 1.1. На рис. 1.2 изображен граф системы S с восемью со- стояниями s1–s8, с возможными непосредственными переходами s1 → s2, s3 → s2, s3 → s7, s4 → s5, s5 → s4, s5 → s1, s6 → s7, s7 → s8, s8 → s6. Например, переход из состояния s3 в состояние s8 возможен через состояние s7 и потому является опосредованным; непосредственный же переход s3 → s8 невозможен, поскольку на графе отсутствует со- ответствующая стрелка. Рис. 1.2
Определение 1.8. Группа состояний системы называется множе- ством без выхода, если система, однажды попав в него, может из лю- бого его состояния перейти за конечное число шагов в любое другое его состояние, но никогда не может выйти из этого множества. Мно- жество без выхода называют также поглощающим множеством или обобщенной ловушкой. В частности, если множество без выхода состоит из единствен- ного состояния, то последнее называется состоянием без выхода, ко- торое также называется поглощающим состоянием или ловушкой. Например, состояния s6, s7, s8 на рис. 1.2 образуют множество без выхода, а состояние s2 является состоянием без выхода. Определение 1.9. Группа состояний системы называется множе- ством без входа, если система, находясь в этом множестве, может из любого его состояния перейти за конечное число шагов в любое дру- гое его состояние, но, выйдя однажды из этого множества, система уже никогда в него не возвратится. Множество без входа называют также неустойчивым или неустановившимся множеством. В частности, если множество без входа состоит из единственного состояния, то последнее называется состоянием без входа, а также неустойчивым или неустановившимся. На рис. 1.2 состояния s4 и s5 образуют множество без входа, а со- стояние s3 является состоянием без входа. Определение 1.10. Система называется эргодической1, если она из любого своего состояния может перейти за конечное число шагов в любое другое состояние. Ясно, что эргодическая система не имеет состояний без входа, состояний без выхода, множеств без входа и множеств без выхода. Система с графом состояний на рис. 1.2 не является эргодиче- ской. Пример графа состояний эргодической системы приведен на рис 1.3. Изучение любой системы, в которой протекает марковский дис- кретный процесс, следует начинать с четкого описания всех интере- 1 Эргос (греч.) — работа. Рис. 1.3
сующих нас состояний, в которых может пребывать система, и по- строения графа этих состояний. В любой фиксированный момент времени t t0 система S, в ко- торой протекает марковский дискретный случайный процесс, может находиться только в одном из своих возможных состояний s1, s2, ..., но неизвестно, в каком именно. То есть состояние S(t0) может быть одним из состояний s1, s2, ... . Чтобы S(t0) интерпретировать как (дис- кретную) случайную величину, надо каждое состояние s1, s2, ... оха- рактеризовать количественно. Это можно сделать различными спо- собами. Например, приписать каждому состоянию si, i 1, 2, ... в ка- честве количественной характеристики его номер i, т.е. si i. Тогда S(t0) будет представлять собой дискретную случайную величину с множеством значений {1, 2, ...}. Определение 1.11. Дискретную случайную величину S(t0) называют сечением случайного процесса, протекающего в системе S, в момент времени t0. Очевидно, что соответствие t → S(t) будет являться дискретной случайной функцией времени t. Определение 1.12. Если провести наблюдение за процессом в сис- теме S в течение некоторого промежутка времени от t0 до t0 t (t 0), то случайная величина S(t) в каждый момент времени t [t0, t0 t] примет конкретное числовое значение, в результате чего мы получим уже не случайную, а обычную функцию, которая называется реализацией данного процесса за временной промежуток [t0, t0 t]. Для выполнения условия однозначности функции будем считать, что в момент перескока система находится в состоянии, в которое она перескочила, а не в состоянии, из которого она перескочила. Пример 1.2. Построим реализацию случайного процесса за про- межуток времени [t0, t0 t] (t 0), протекающего в системе S, граф состояний которой изображен на рис. 1.3. Предположим, что наблю- дения показали пребывание системы S в указанных ниже промежут- ках времени соответственно в следующих состояниях: [t0, t1) (t0 t1 t0 t) s2 [t1, t2) (t1 t2 t0 t) s3 [t2, t3) (t2 t3 t0 t) s1 [t3, t4) (t3 t4 t0 t) s2
[t4, t5) (t4 t5 t0 t) s3 [t5, t0 t] s2 Характеризуя количественно каждое состояние его номером, по- лучим реализацию данного случайного процесса за промежуток вре- мени [t0, t0 t], представляющую собой уже не случайную, а обыч- ную ступенчатую разрывную функцию, имеющую разрывы в точ- ках — моментах перескока. S t t t t t t t t t t t t t ( ) , , , , , , , , = ≤ < ≤ < ≤ < ≤ < 2 3 1 2 3 0 1 1 2 2 3 3 4 при при при при , , , , при при t t t t t t t 4 5 5 0 2 ≤ < ≤ ≤ + ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Δ определенную на отрезке [t0, t0 t], график которой изображен на рис 1.4. Пример 1.3. Рассмотрим процесс работы одного окна «Комму- нальные платежи» в операционном зале банка в рабочее время. В не- которые промежутки времени у окна не будет посетителей — оно будет свободным. А в другие — будет занятым обслуживанием посе- тителей. Попробуем смоделировать процесс работы окна, которое будет интерпретировать в качестве системы S. Тогда система S может пре- бывать в одном из двух состояний: s0 — окно свободно, s1 — окно занято. (Здесь нумерацию состояний мы начали с нуля, а не с единицы, хотя это не является принципиальным). Рис. 1.4
Доступ онлайн
В корзину