Современная математика и ее творцы

В. Ф. Панов





                СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ТВОРЦЫ




Под редакцией В. С. Зарубина





Москва 2011

УДК 51(091)
ББК 22.1г
      П16




Рецензенты:

зав. кафедрой математики Военной академии РВСН имени Петра Великого, д-р техн. наук, проф. В.В. Блаженков;
канд. физ.-мат. наук, доц. А.Н. Канатников




      Панов В. Ф.
П16 Современная математика и ее творцы / В. Ф. Панов; под ред. В. С. Зарубина. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. - 646, [2] с. : ил.

          ISBN 978-5-7038-3536-4

          В доступной форме рассказано о развитии традиционных разделов математики второй половины XIX - начала XXI в., создании новых разделов математики. Представлены основные вехи жизненного и творческого пути многих отечественных и зарубежных математиков. Отражена взаимосвязь математики и философии.
          Рекомендовано студентам, аспирантам, учителям математики, а также всем, кто интересуется историей науки.


УДК 51(091)
ББК 22.1г












ISBN 978-5-7038-3536-4

                                            © Панов В.Ф., 2011
                  © Оформление. Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

            ОГЛАВЛЕНИЕ



Предисловие ....................................................... 9
Часть I. МАТЕМАТИКА В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ ........................... 13
Глава 1. Особенности современной математики....................... 15
         Приоритеты в математике XX в............................. 15
         Аксиоматизация и систематизация математики............... 23
         Споры сторонников абстрактной и прикладной математики.... 26
         «Архитектура» современной математики .................... 31
Глава 2. Роль международных математических конгрессов в развитии математики ............................................ 37
         Первые международные контакты ........................... 37
         Первый Международный конгресс математиков ............... 38
         Второй Международный конгресс математиков ............... 38
         Доклад Гильберта «Математические проблемы» .............. 39
         Международные математические конгрессы в XX и XXI вв..... 42
         Нерешенные (открытые) математические проблемы ........... 46
Глава 3. Профессиональные награды математиков..................... 50
         Международные награды по математике ..................... 50
         Международные награды, в которых одной из номинаций является «математика»............................................. 61
Часть II. СТАНОВЛЕНИЕ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШКОЛЫ .................................... 67
Глава 4. Как начиналась современная математика.................... 69
         Об истории пятого постулата Евклида...................... 69
         Сущность неевклидовой геометрии ......................... 70
              Н.И. Лобачевский.................................... 72
              Яиош Больяй ........................................ 75
         Алгебраизация математики и математическая логика ........ 76
              Эварист Галуа....................................... 78
              Джордж Буль ........................................ 83
         Создание теории бесконечных множеств .................... 85
              Георг Кантор........................................ 92
Глава 5. Споры относительно оснований математики.................. 96
         Интуиция и логика в математике .......................... 96
         Логицизм, интуиционизм, формализм........................ 98
              Алфред Уайтхед .................................... 109
              Бертран Рассел .................................... 111
              Лейтзен Брауэр .................................... 112
         Открытия Курта Гёделя и Пола Коэна. Создание конструктивной математики.............................................. 115
              А.А. Марков-младший ............................... 120
              Курт Гёдель ....................................... 123
              Пол Коэн .......................................... 127
Глава 6. Петербургская математическая школа...................... 128
         Основание петербургской математической школы ........... 128
              П.Л. Чебышёв....................................... 129


3

Оглавление

              А.А. Марков......................................... 132
              А.М. Ляпунов ....................................... 135
              В.А. Стеклов ....................................... 137
              НМ. Гюнтер ......................................... 139
              В.И. Смирнов........................................ 140
Глава 7. Немецкая математическая школа............................ 143
         Система обучения в университетах Германии в XIX в........ 143
              Карл Вейерштрасс ................................... 145
              Бернхард Риман...................................... 146
              Юлиус Дедекинд...................................... 149
              Феликс Клейн ....................................... 149
              Давид Гильберт...................................... 152
              Герман Минковский .................................. 159
              Герман Вейль ....................................... 161
              Рихард Курант ...................................... 165
         Разгром немецкой математической школы нацистами ......... 168
Глава 8. Французская математическая школа ........................ 172
         Система образования во Франции........................... 172
              Анри Пуанкаре ...................................... 174
              Жак Адамар ......................................... 181
              Эмиль Борель ....................................... 183
              Анри Лебег ......................................... 186
Глава 9. Московская математическая школа ......................... 189
         Организация математических исследований до 1941г. ....... 189
              Н.Е. Жуковский...................................... 194
              Д.Ф. Егоров......................................... 197
              Н.Н. Лузин ......................................... 199
              А.Н. Колмогоров..................................... 203
         «Лузитания».............................................. 209
         Внедрение диалектики в математику ....................... 213
         Организация математических исследований в годы войны и послевоенное время............................................ 218
Глава 10. Американская математическая школа....................... 222
         Система образования в США ............................... 222
              Джордж Биркгоф ..................................... 225
              Соломон Лефшец...................................... 226
              Джеймс Александер .................................. 228
              Марстон Морс........................................ 229
              Джон фон Нейман..................................... 231
              Хасслер Уитни....................................... 237
              Сондерс Маклейн..................................... 238
Часть III. РАЗВИТИЕ ТРАДИЦИОННЫХ РАЗДЕЛОВ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ ....................................................... 241
Глава 11. Математическая статистика и теория вероятностей ........ 243
         Математическая статистика................................ 244
              Карл Пирсон......................................... 246
              Уильям Госсет (Стьюдент) ........................... 248
              Е.Е. Слуцкий ....................................... 249

4

Оглавление

             Роналд Фишер ....................................... 251
             Ежи Нейман.......................................... 253
             Эгон Пирсон......................................... 254
         Теория вероятностей .................................... 255
             А.Я. Хинчин ........................................ 259
             Б.В. Гнеденко....................................... 262
             Киёши Ито........................................... 265
             Шриниваса Варадхан ................................. 266
             Венделин Вернер .................................... 267
Глава 12. Топология первой половины XX в......................... 268
         Чем занимается топология................................ 268
             Феликс Хаусдорф..................................... 273
             П.С. Урысон ........................................ 275
             П.С. Александров ................................... 277
             Хейнц Хопф ......................................... 280
             Л.В. Келдыш ........................................ 281
             Шэншэнъ Чжэнъ (Черн) ............................... 283
Глава 13. Вычислительная математика.............................. 285
         Численные и аналитические методы ....................... 285
             А.Н. Крылов ........................................ 288
             Б.Г Галёркин........................................ 290
             А.Н. Тихонов ....................................... 293
             А.А. Дородницын..................................... 296
             Г.И. Марчук......................................... 298
             А.А. Самарский...................................... 301
Глава 14. Теория дифференциальных уравнений...................... 303
         Обыкновенные дифференциальные уравнения ................ 303
         Дифференциальные уравнения с частными производными ..... 307
             С.Н. Бернштейн ..................................... 309
             И.А. Лаппо-Данилевский ............................. 312
             М.А. Лаврентъев..................................... 313
             И.Г. Петровский .................................... 316
             М.В. Келдыш......................................... 319
             Ларс Хёрмандер...................................... 322
             Седрик Виллани ..................................... 323
Глава 15. Теория функций и функциональный анализ ................ 325
         Теория функций ......................................... 325
         Функциональный анализ .................................. 327
             Гёста Миттаг-Лёффлер ............................... 330
             Константин Каратеодори ............................. 331
             Харалъд Бор......................................... 333
             Стефан Банах ....................................... 334
             Д.Е. Менъшов ....................................... 336
             М.Я. Суслин......................................... 338
             Н.К. Бари........................................... 341
             Ролъф Неванлинна ................................... 342
             Л.А. Люстерник ..................................... 343
             П.С. Новиков........................................ 344
             Ларс Алъфорс........................................ 346

5

Оглавление

             С.Л. Соболев........................................ 347
             И.М. Гельфанд....................................... 352
             Чарльз Фефферман ................................... 355
             Ален Конн .......................................... 356
             С.К. Смирнов ....................................... 357
Глава 16. Абстрактная алгебра.................................... 359
         Развитие алгебры в Европе .............................. 359
             Фердинанд Фробениус ................................ 362
             Эмми Нётер ......................................... 363
             Эмиль Артин ........................................ 365
             Бартел Ван-дер-Варден .............................. 367
             Джон Томпсон ....................................... 369
         Развитие алгебры в СССР ................................ 370
             Д.А. Граве ......................................... 374
             О.Ю. Шмидт.......................................... 375
             Н.Г. Чеботарёв...................................... 377
             А.И. Мальцев........................................ 379
             И.Р. Шафаревич ..................................... 380
             ГА. Маргулис ....................................... 382
             Е.И. Зельманов ..................................... 383
Глава 17. Геометрия в России в XX - начале XXI в................. 384
         Очерк развития современной геометрии ................... 384
             С.П. Фиников........................................ 387
             Б.Н. Делоне ........................................ 389
             А.Д. Александров ................................... 391
             А.В. Погорелов ..................................... 395
             М.Л. Громов ........................................ 397
Часть IV. КОРЕННЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ ПОСЛЕ ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ............................ 399
Глава 18. Николя Бурбаки - коллективный псевдоним группы математиков 401
         Возникновение объединения французских математиков....... 401
         Бурбаки и реформа математического образования .......... 408
             Анри Картан ........................................ 411
             Андре Вейль ........................................ 412
             Клод Шевалле ....................................... 414
             Лоран Шварц ........................................ 415
             Жан-Пьер Серр ...................................... 416
             Джон Тейт........................................... 418
             Александр Гротендик ................................ 419
             Жак Титс ........................................... 422
Глава 19. Теоретическая физика и математика ..................... 424
         О проблемах теоретической физики ....................... 424
         Стандартная модель физики элементарных частиц .......... 425
         Теория суперструн....................................... 430
             Н.Н. Боголюбов ..................................... 436
             Ричард Фейнман ..................................... 440
             Роджер Пенроуз ..................................... 443
             Л.Д. Фаддеев........................................ 445

6

Оглавление

              Шинтан Яу........................................... 448
              Эдвард Виттен ...................................... 449
              Воган Джонс ........................................ 450
              М.Л. Концевич....................................... 451
Глава 20. Топология второй половины XX в.......................... 454
         Новые идеи в топологии .................................. 454
              В.А. Рохлин ........................................ 458
              Рене Том ........................................... 461
              Стивен Смейл ....................................... 462
              Джон Милнор......................................... 463
              Майкл Атья ......................................... 464
              С.П. Новиков........................................ 466
         Гипотеза Пуанкаре ....................................... 469
              Уильям Тёрстон...................................... 471
              Майкл Фридман ...................................... 472
              Саймон Доналдсон.................................... 473
              Г.Я. Перельман ..................................... 474
Глава 21. Алгебраическая геометрия ............................... 478
         Очерк развития алгебраической геометрии ................. 478
              Кунихико Кодаира.................................... 481
              Хейсуке Хиронака ................................... 482
              Дэвид Мамфорд....................................... 483
              Пьер Делинь ........................................ 484
              Герд Фалтингс....................................... 485
              Сигефуми Мори....................................... 485
              В.А. Воеводский .................................... 486
Глава 22. Теория чисел............................................ 489
         Основные направления исследований ....................... 489
              Годфри Харди ....................................... 493
              Шриниваса Рамануджан ............................... 495
              ИМ. Виноградов ..................................... 498
              Л.Г. Шнирельман..................................... 500
              А.О. Гельфонд ...................................... 502
              Атле Сельберг ...................................... 504
              Клаус Рот........................................... 505
              Алан Бейкер ........................................ 506
              Энрико Бомбьери..................................... 507
              Ю.В. Матиясевич .................................... 508
              Теренс Тао ......................................... 509
Глава 23. Великая теорема Ферма .................................. 511
         Предыстория Великой теоремы Ферма........................ 511
         Гипотеза Таниямы - Шимуры................................ 514
         Завершающие атаки на Великую теорему Ферма............... 517
              Эндрю Уайлс ........................................ 518
              Роберт Ленглендс ................................... 521
              В.Г Дринфельд ...................................... 523
              Лоран Лаффорг....................................... 524
              А.Ю. Окуньков....................................... 525
              Бао Чау Нго......................................... 526

7

Оглавление

Часть V. РАЗВИТИЕ НОВЫХ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ ПОСЛЕ ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ........................................ 527
Глава 24. Теория алгоритмов, кибернетика, вычислительная техника . 529
         Из предыстории вычислительной техники.................... 529
         Теория алгоритмов ....................................... 530
         Кибернетика.............................................. 533
         Математика и вычислительная техника ..................... 537
              Ада Лавлейс ........................................ 538
              Норберт Винер ...................................... 539
              Алан Тьюринг ....................................... 541
              Клод Шеннон ........................................ 543
              В.М. Глушков........................................ 545
Глава 25. Исследование операций и теория управления............... 548
         Исследование операций и круг рассматриваемых задач....... 548
              Агнер Эрланг ....................................... 553
              Л.С. Понтрягин ..................................... 554
              Ричард Беллман ..................................... 558
              Л.В. Канторович .................................... 559
              Н.Н. Моисеев........................................ 563
              Джон Форбс Нэш-младший.............................. 565
              Лотфи Заде ......................................... 566
Глава 26. Нестандартные методы анализа ........................... 571
         Расхождение современных физических представлений с идеями математического анализа ................................. 571
         Нестандартный (инфинитезимальный) анализ................. 572
         Бесконечно малые величины в трактовке Лейбница........... 580
         Отношение ученых к идее бесконечно малых величин ........ 580
         Булевозначный анализ .................................... 584
              Туральф Сколем...................................... 585
              Абрахам Робинсон.................................... 586
              Петр Вопенка........................................ 587
Глава 27. Динамические системы. Порядок и хаос. Создание фрактальной геометрии ................................... 589
         Поиск единых законов эволюции ........................... 589
         Ключевые понятия качественной теории сложных нелинейных систем................................................... 590
         Варианты качественной теории сложных нелинейных систем... 593
         Фракталы ................................................ 601
              А.С. Безикович ..................................... 607
              И.Р. Пригожин ...................................... 609
              Эдвард Лоренц ...................................... 611
              Бенуа Мандельброт .................................. 614
              Юрген Мозер ........................................ 616
              В.И. Арнольд ....................................... 617
              Жан-Кристоф Иоккоз.................................. 620
              Элон Линденштраусс ................................. 621
Заключение........................................................ 622
Литература ....................................................... 626
Именной указатель ................................................ 629

8

                  Никакая иная наука не обладает таким совершенным представлением об истинности и ложности суждений, как математика... Математическое творчество требует абсолютно точного соблюдения законов мышления, дисциплинирует и формирует личность, помогая ей выработать систему ценностей высокой пробы.
А.В. Архангельский


            ПРЕДИСЛОВИЕ



    Математика является обязательным предметом при обучении в школах и преподается во всех технических вузах. Но это лишь знакомство с элементарной математикой и несколькими классическими разделами высшей математики.
    Грандиозный «город» современной математики с его «небоскребами» различных разделов, иногда стоящих особняком, но чаще связанных общей инфраструктурой, для подавляющего большинства выпускников технических вузов - «терра инкогнита». Даже для профессионалов-математиков многое остается непознанным, так как в настоящее время наблюдается тенденция к сужению диапазона математических интересов.
    Раньше была такая специальность - «математик», потом удобнее стало говорить о профессиональном математике «геометр» или «алгебраист», или «аналитик», а сегодня и такое деление представляется крупным. Ибо основные математические дисциплины - геометрия и алгебра, арифметика (теория чисел) и математический анализ - распались на ряд школ и направлений, каждое из которых характеризуется своим подходом, своим специфическим «языком». И вот уже, кажется, специалисты по геометрии «в малом» разучились понимать специалистов по геометрии «в целом»; специалисты по алгебраической теории чисел - специалистов по аналитической теории чисел; ученые, разрабатывающие математический аппарат теории относительности, - специалистов по математическим методам квантовой механики.
    В одной из своих статей выдающийся математик-универсал XX в. Джон фон Нейман писал, что если хороший физик-теоретик может активно ориентироваться практически в половине своего предмета, то сомнительно, что кто-нибудь из математиков обладает хотя бы четвертью математических знаний.
    В большинстве современных учебников математика излагается как вневременная и безликая совокупность более или менее согласованных определений, понятий, идей и методов. Это затрудняет понимание внутренней логи

9

Предисловие

ки развития науки, движущих пружин этого развития и необходимости введения того или иного понятия.
    Данная книга продолжает развитие идей, представленных автором в книге «Математика древняя и юная», вышедшей в свет в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2004 г. Относительно краткая информация о современной математике, изложенная в предыдущей книге, здесь значительно расширена. В работу включены биографии известных математиков, внесших заметный вклад в ее развитие периода XIX - начала XXI в. К сожалению, о математиках, работающих в настоящее время, информации очень мало. Во-первых, это связано с этическими соображениями, а во-вторых, со сложностью оценивания заслуг современников. В подтверждение сказанному хотелось бы процитировать С.А. Есенина: «Лицом к лицу лица не увидать. // Большое видится на расстоянье». Поэтому о первых двух третях XX в. рассказано более подробно, чем о последней.
    Подбор персоналий, о жизни и творчестве которых рассказывается в книге, является субъективным выбором автора. Вследствие этого книга является отражением представления автора о величине вклада того или иного ученого в развитие математики. Из ныне живущих математиков выбраны те, которые получили мировое признание, были удостоены международных наград.
    Периодизация истории математики остается спорным вопросом. А.Н. Колмогоров предложил считать современной математику с момента появления новых математических теорий в XIX в. до наших дней. В связи с этим, началом современной математики считают появление неевклидовой геометрии.
    Современная математика многогранна, и ее терминология необычайно сложна. При работе над книгой автору приходилось выбирать между доступностью изложения и точностью. Предпочтение отдавалось доступности. Читателями книги автор видит в основном студентов технических вузов и инженеров, которые изучали высшую математику, но не знакомы с историей многих ее разделов. Однако книга будет полезна и гуманитариям, интересующимся историей науки.
    Хотя в книге описан процесс становления современной математики, она не является учебником, поэтому автор старался избегать формул. Существует мнение, что каждая формула уменьшает вдвое число потенциальных читателей.
    Книга состоит из пяти частей, в которые входят 27 глав. Первая часть включает в себя три главы. Эта часть знакомит читателя с особенностями современной математики, альтернативными точками зрения ученых на цели исследований и связь результатов исследований с реальной жизнью; основными идеями, давшими начало современной математике и теми учеными XIX в., которые оказали заметное влияние на ее становление; рассказывает о международных связях математиков и международных математических конгрессах, а также о профессиональных наградах математиков, отмеченных за наиболее выдающиеся результаты исследований.
    Во второй части рассказывается об истоках современной математики, двух российских математических школах (петербургской и московской), двух

10

Предисловие

крупнейших математических школах Западной Европы (немецкой и французской), американской математической школе и о философских спорах относительно оснований математики первой трети XX в.
    Третья часть книги знакомит читателя с творцами тех разделов математики, которые были достаточно развиты уже в начале XX в. и продолжают развиваться в настоящее время.
    Четвертая часть повествует об авторах исследований тех разделов математики, которые после Второй мировой войны развивались гораздо интенсивнее, чем до ее начала.
    В пятой части рассказано о разделах математики, которые в начале XX в. находились в стадии становления или не существовали вовсе.
    Диапазон интересов выдающихся творцов математики XX в. колебался от увлеченности в течение всей жизни одним разделом математики, до получения важнейших результатов во многих ее разделах. Универсальными математиками были А. Пуанкаре, Д. Гильберт, Г. Вейль, А.Н. Колмогоров, Дж. фон Нейман, Ф. Клейн, С.Л. Соболев, Н. Винер. Это вызывало большие трудности у автора данной книги при выборе главы, в которой хотелось бы рассказать о конкретном математике. Многие ученые проводили исследования в определенных разделах математики. Например, С. Банах занимался только функциональным анализом, Э. Нетер - алгеброй, Ш. Рамануджан -теорией чисел.
    Xотя автору пришлось ознакомиться с большим количеством книг и журналов, не обошлось без интернет-источников. Огромную помощь в подборе материала оказали студенты факультета «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающиеся по специальности «Прикладная математика», которым автор очень признателен. Автор также благодарит коллектив кафедры «Прикладная математика» за помощь в поиске информации и коллектив Издательства МГТУ им. Н.Э. Баумана, особенно Буравлёву В.С., за высокий профессионализм и терпение.
    Автор надеется, что прочитавший книгу будет лучше понимать историю развития современной математики и захочет ближе познакомиться с этой замечательной наукой, чтобы успешно применять полученные знания в повседневной жизни.

В.Ф. Панов

            Часть I

            МАТЕМАТИКА В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ


                     В физике, инженерном деёе, экономике, психоёогии, медицине, биоёогии, всюду, где есть необходимость точно описать происходящее и точно выразить закон, управляющий тем иёи иным явлением, всюду на помощь приходят понятия, конструкции и методы математики.
А.В. Архжгеёьскии

    Для людей, чья деятельность не связана с математикой и имеющих гуманитарный склад мышления, математика воспринимается не как наука, а как наиболее формализованная, а, следовательно, и наиболее скучная школьная и вузовская дисциплина. По их мнению, в математике все давно уже сделано, просто готовые формулы используют в решении прикладных задач, а тот факт, что математика продолжает развиваться и в ней происходят открытия, вызывает искреннее удивление.
    В средствах массовой информации о математике пишут намного меньше, чем о физике, химии и биологии. Это преимущественно объясняется сложностью понятийно-категориального аппарата, отсутствием приложений и нежеланием профессиональных математиков популярно рассказывать о достижениях в этой науке. В действительности современная математика — это фундаментальные проблемы, непрекращающиеся теоретические и экспериментальные исследования, в том числе с помощью компьютеров.
    Еще в конце XVII в. Лейбниц считал, что математика должна изучать все, что в области воображения поддается точному определению. Важной задачей математики является изучение соотношений между математическими объектами. Коренные изменения в математике, придавшие ей современный вид, начались преимущественно в XIX в.
    В соответствии с предложением А.Н. Колмогорова, в истории математики условно выделяют четыре основных периода:
    — зарождения математики (до VI—V вв. до н. э.);
    —     элементарной математики (математики постоянных величин) (VI—V вв. до н. э. — XVI в.);
    — создания математики переменных величин (XVI в. — сер. XIX в.);
    — период современной математики.
    Началом современной математики принято считать появление новых математических теорий в XIX в. Если ранее аксиомы считались истинами, не требующими доказательства в силу своей очевидности, то постепенно пришло понимание, что аксиомы скорее являются гипотезами и могут существовать различные мнения о том, насколько построенные с их помощью модели соответствуют материальному миру.


13

    Если в предыдущие периоды евклидова геометрия претендовала на «абсолютную истинность», то появление непротиворечивой неевклидовой геометрии и дальнейшие исследования Б. Римана показали, что существует неограниченное разнообразие геометрических пространств, отличающихся друг от друга размерностью, формулами вычисления расстояний и т. д.
    Ранее алгебра занималась в основном решением уравнений и систем уравнений, а также правилами преобразований буквенных выражений. В период современной математики начали исследовать общие свойства алгебраических операций в произвольных множествах и изучать новые алгебраические структуры (группы, кольца, поля, решетки и т. д.), возникшие из конкретных задач алгебры и геометрии.
    Появляются новые разделы математики, расширяются направления исследований, меняются приоритеты. В математике теперь изучаются не только понятия, возникшие при рассмотрении реальных объектов, но и свойства «мыслимых объектов», (например, шаров или спиралей в бесконечномерном пространстве), логически возможные чистые формы, системы отношений.
    Развитие математики не сводится лишь к росту количественных изменений, а включает глубокие качественные изменения. Она переживает период бурного развития, диктуемого быстрым расширением сфер ее применения к различным областям знания и техники. Развитие математики происходит в борьбе переплетающихся в ней противоположностей: конкретного и абстрактного, частного и общего, формального и содержательного, аксиоматического и конструктивного, конечного и бесконечного, дискретного и непрерывного [84].
    Математика стала приобретать характер истинно интернациональной науки. Каждые четыре года собираются международные математические конгрессы, ежегодно проводятся международные симпозиумы и конференции, посвященные различным разделам математики. Об изменениях, произошедших в ХХ в., свидетельствует перечень секций на международных математических конгрессах. Если на II конгрессе в 1900 г. работали шесть секций, то на современных конгрессах их насчитывается почти два десятка. Подробнее об этом рассказано в гл. 2.
    Существуют различные международные профессиональные награды, которыми отмечаются наиболее выдающиеся результаты исследований. Хотя по математике не присуждают Нобелевскую премию, имеются уже четыре престижные премии, которыми отмечаются выдающиеся исследования математиков только на международных математических конгрессах (медаль Филдса, премия Неванлинны, премия Гаусса, медаль Черна). Кроме того, существуют престижные международные награды, в которых одной из номинаций является «математика».

    Глава 1

    ОСОБЕННОСТИ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ

                   Не следует забывать о том, что математика всегда была подспорьем для философского осмысления мира.
В.М. Тихомиров

    Приоритеты в математике XX в.
    Четкой границы, разделяющей математику XIX и XX вв., не существует, но появились качественные отличия в математике в целом. Их точно охарактеризовал один из ведущих современных математиков Майкл Атья в лекции, прочитанной на Международном математическом симпозиуме в июне 2000 г. в Торонто.
    Первое отличие заключается в переходе от локального к глобальному. В XIX в. ученые предпочитали работать с малыми масштабами, изучать локальное поведение объектов. В XX в. ученые интересовались крупными масштабами, глобальным поведением объектов. Поскольку сложность изучаемых явлений резко возросла, повысился интерес к исследованиям на качественном уровне, важными стали топологические идеи во всех разделах математики. Оправдались предсказания Пуанкаре о возрастании роли топологии. Эта особенность явно просматривалась во многих разделах математики: теории функций, теории дифференциальных уравнений, теории чисел, теоретической физике.
    Второе отличие - повышение размерности, т. е. переход от одно- и двумерных объектов к n -мерным. Например, если в прошлом в дифференциальной геометрии изучали кривые и поверхности, то теперь стали изучать n-мерные многообразия. От классической теории функций комплексного переменного, подробно изучавшей функции одного переменного, перешли к изучению теории функций n комплексных переменных. От анализа конечномерных линейных пространств перешли к бесконечномерным гильбертовым пространствам и т. п.
    Следующее отличие - переход от коммутативного аспекта математики вообще, и алгебры в частности, к некоммутативному. Предпосылкой к этому в XIX в. стали работы Галуа, открытие кватернионов Гамильтоном, работы Грассмана по внешним алгебрам, работы Кэли по матрицам. Важнейшим разделом математики стала теория групп. В теоретической физике переход к некоммутативным аспектам совпал с созданием квантовой теории и привел к появлению коммутационных соотношений Гейзенберга, развитых фон Нейманом в теорию операторных алгебр.


15

Часть I. Математика в современном мире

    Еще одним отличием является переход от линейных аспектов разделов математики к более сложным нелинейным. Нелинейные явления мало изучались в XIX столетии и только в XX в. началась серьезная работа над ними. Примерами являются переход от евклидовой геометрии к римановым геометриям, изучение солитонов и хаоса в теории дифференциальных уравнений, переход от уравнений Максвелла к уравнениям Янга - Миллса в теоретической физике.
    Рассмотрим принципиальные изменения, произошедшие в XX в. в основных разделах математики.
    Математический анализ. Ученым пришлось критически пересмотреть основные понятия математического анализа, начиная с понятия действительного числа. Во второй половине XIX в. это понятие оказалось «арифметизировано», т. е. сведено к понятию натурального числа. В конце XIX в. после работ Ю. Дедекинда, Г. Кантора и К. Вейерштрасса у большинства математиков XX в. сложилось впечатление, что теория действительного числа разработана полностью и проблем действительных чисел больше не существует. Но именно в этом вопросе были обнаружены трудности, приведшие к возникновению новых научных направлений, связанных с вопросами обоснования математики. Увеличение интереса к философским и методологическим проблемам, различные подходы к их решению свидетельствовали о приближении очередного «кризиса основ» математики.
    В начале XX в. большое внимание уделялось обоснованию фундаментальных понятий, установлению единства в многообразии математических методов, анализу строгости доказательства теорем и проблеме непротиворечивости. Это привело к большим спорам относительно обоснования математики, суть которых рассмотрена в гл. 10.
    Из новых направлений, родившихся в начале XX в., следует назвать три ветви - теорию функций, топологию и функциональный анализ [73].
    Теория функций. В теории функций (сейчас ее чаще называют комплексным анализом) в XIX в. исследовались функции одного комплексного переменного, причем функции задавались в явном виде. Теперь интерес представляют глобальные свойства функций: расположение особенностей, области определения и области значений.
    На первый план выдвинулась теория функций действительного переменного. Она сформировалась во второй половине XIX в., главным образом, в связи с вопросами теории тригонометрических рядов и работами Георга Кантора по теории множеств. В конце XIX в. теория функций действительного переменного обогатилась понятиями и методами теории множеств. Это привело к созданию теории точечных множеств, введению понятия измеримой функции, существенному обобщению понятия интеграла, классификации функций действительного переменного.
    Мера множества по Лебегу, измеримые множества Бореля, классы функций Бэра, интеграл Лебега - все эти понятия входят сейчас в университетские курсы математики, а появились в науке в первые годы XX в. Важными для развития математики оказались работы Пеано, издавшего в 1895-1908 гг. пять томов «Математического формуляра» - комментированного изложения

16