Курс высшей математики. В 2 книгах. Книга 2


В.Е.ШНЕЙДЕР, А.И.СЛУЦКИЙ, А.С.ШУМОВ





                КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ







Москва
Мир и Образование

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

    Ш76





Научное редактирование книги и подготовка ее к изданию выполнены А. М. Суходским




    Шнейдер, В. Е.
Ш⁷⁶ Курс высшей математики. В 2 кн. Кн. 2: Учеб. пособие для вузов / В. Е. Шнейдер, А. И. Слуцкий, А. С. Шумов. — 3-е изд., перераб. и испр. — Москва : Мир и Образование, 2022. — 480 с.: ил.
       ISBN 978-5-94666-522-3
       ISBN 978-5-94666-524-7 (Книга 2)
       Эта книга является переработанным изданием учебного пособия, широко известного многим поколениям студентов. Она написана в соответствии с программой по курсу высшей математики для вузов.
       Пособие состоит из двух книг. Содержание второй книги охватывает следующие разделы: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, кратные криволинейные интегралы, ряды, дифференциальные уравнения, элементы теории вероятностей и элементы операционного исчисления.
       В каждом разделе курса приводится большое количество подробно решенных примеров и задач, поясняющих теоретический материал.
       Пособие адресовано студентам и преподавателям вузов.

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73










ISBN 978-5-94666-522-3
ISBN 978-5-94666-524-7 (Книга 2)




                          © Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И., Шумов А. С., 2022
                          © ООО «Издательство «Мир и Образование», 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ



Предисловие.................................................5

Глава 9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
   § 9.1. Функции нескольких переменных.....................6
   § 9.2. Предел функции нескольких переменных.
       Непрерывность функции. Точки разрыва............... 12
   § 9.3. Частные производные............................. 18
   § 9.4. Полный дифференциал функции нескольких переменных.24
   § 9.5. Дифференцирование сложных и неявных функций..... 36
   § 9.6. Скалярное поле...................................45
   § 9.7. Экстремум функции двух переменных................61

Глава 10. Кратные и криволинейные интегралы
   § 10.1. Двойной интеграл............................... 71
   § 10.2. Тройной интеграл.............................. 105
   § 10.3. Криволинейный интеграл........................ 120
   § 10.4. Основные понятия векторного анализа........... 151

Глава 11. Ряды
   § 11.1. Числовые ряды................................. 189
   § 11.2. Функциональные ряды............................216
   § 11.3. Степенные ряды.................................220
   § 11.4. Приложение рядов к приближенным вычислениям....243
   § 11.5. Понятие о функции комплексной переменной.
        Степенные ряды в комплексной области..............249
   § 11.6. Ряды Фурье.....................................257

Глава 12. Дифференциальные уравнения
   § 12.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.......277
   § 12.2. Дифференциальные уравнения второго порядка.......301
   § 12.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка ..313

Оглавление

   § 12.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами............................325
   § 12.5. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 345
   § 12.6. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.........................................350
   § 12.7. Понятие о системах дифференциальных уравнений...352

Глава 13. Элементы теории вероятностей
   § 13.1. Основные понятия ...............................362
   § 13.2. Последовательные испытания. Формула Бернулли ..374
   § 13.3. Случайные величины..............................377
   § 13.4. Числовые характеристики случайных величин.......401
   § 13.5. Законы больших чисел...........................412
   § 13.6. Теоремы Ляпунова и Лапласа.....................419
   § 13.7. Приложение теории вероятностей к обработке результатов измерений...................................422
   § 13.8. Приложение теории вероятностей к математической статистике.............................427
   § 13.9. Элементы теории корреляций.....................435

Глава 14. Элементы операционного исчисления
   § 14.1. Оригиналы и изображения........................447
   § 14.2 Изображения некоторых функций...................450
   § 14.3. Некоторые теоремы операционного исчисления.....456
   § 14.4. Дифференцирование и интегрирование оригиналов...459
   § 14.5. Сводная таблица некоторых оригиналов и их изображений... 463
   § 14.6. Интегрирование линейных дифференциальный уравнений с постоянными коэффициентами............................465
   § 14.7. Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами..................468

Приложение................................................471
Предметно-именной указатель...............................473

ПРЕДИСЛОВИЕ



    Настоящее учебное пособие представляет собой третье, переработанное и исправленное издание книги тех же авторов (первые два издания под названием «Краткий курс высшей математики» были выпущены в 1972 и 1978 гг). Оно в основном охватывает весь материал, предусмотренный программой по высшей математике для студентов высших учебных заведений.
    Пособие состоит из двух книг. В книге 1 рассматриваются следующие разделы: метод координат и понятие функции; аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве; теория пределов; дифференциальное исчисление функций одной переменной; неопределенный и определенный интегралы.
    В книге 2 рассматриваются следующие разделы: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; кратные и криволинейные интегралы; ряды; дифференциальные уравнения; элементы теории вероятностей; элементы операционного исчисления.
    Авторы стремились изложить материал во возможности строго и доступно. В каждом разделе курса приводится большое количество подробно решенных примеров и задач, поясняющих теоретический материал. Вместе с тем, чтобы избежать формального введения основных понятий, предварительно рассматриваются геометрические и физические задачи, естественно приводящие к этим понятиям.
    В третьем издании были сделаны улучшения методического и редакционного характера, а также исправлены замеченные неточности и опечатки.
    В книге приняты следующие обозначения: начало и конец доказательства какого-либо утверждения обозначаются соответственно знаками □ и ■. а начало и конец решения примера — знаками Д и ▲ .
    Издательство будет благодарно всем, кто пришлет свои замечания и пожелания, связанные с этой книгой.
    Желаем Вам успехов!

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ






                    § 9.1. Функции нескольких переменных

    1. Функция двух переменных и ее область определения. В§ 1.4,п.2 было дано определение функции. Если в этом определении под множеством М понимать некоторое множество пар (х, у) действительных чисел, а под множеством L — некоторое множество действительных чисел, то мы придем к понятию функции двух переменных.
    Итак, функцией двух- переменных называется правило, по которому каждой паре чисел (x, y) е M соответствует единственное число z е L при условии, что каждое число z е L соответствует хотя бы одной паре (x, у) е M.
    При этом х и у называют независимыми переменными (или аргументами), z — зависимой переменной, множество М — областью определения функции, а L — множеством значений функции. Как и в случае функции одной переменной, зависимую переменную также называют функцией (как и само правило соответствия).
    Обозначения функции двух переменных аналогичны обозначениям функции одной переменной: z = f (x, у), z = ф (x, у), z = z (x, у) и т. д.
    Пример 1. Площадь z прямоугольника со сторонами х и у находится по формуле z = ху. Эта формула определяет функцию двух переменных, т. е. правило, по которому каждой паре положительных чисел (х, у) соответствует единственное положительное числоz. Областью определенияМэтой функции является множество всех пар положительных чисел (х, у), а множеством значенийL — множество всех положительных чисел.
    При нахождении частного значения z0 функции z = f (x, у), которое она принимает при заданных числовых значениях аргументов x = x0 и у = у0 , пишут
z0 = =xy:   или zq = f ⁽xq, уq).

§9.1. Функции нескольких переменных

7

    Например, если z = f (x, y) = xy, то

              z\ₓ=1 = f (1, 2) = 1- 2 = 2.
                y=2
    Так как каждой паре чисел (х, у) соответствует единственная точка Р (х; у) плоскости Оху и обратно, каждой точке Р (х; у) соответствует единственная пара чисел (х, у), то функцию двух переменных

Рис. 9.1

можно рассматривать как функцию точки Р (х; у). Поэтому вместо записи

f (x, y) пишут f (P). В этом случае областью определения функции явля

ется некоторое множество G точек плоскости Оху.
    Так, в приведенном выше примере областью определения G функции z = ху, выражающей площадь прямоугольника с основаниемх и высотойу, является множество точек I четверти, поскольку только для этих точек обе координаты положительны (рис. 9.1).
    Как и в случае функции одной переменной, способы задания функции двух переменных могут быть самыми различными. Функция может быть задана с помощью таблицы (табличный способ задания функции). Для функции z = f (x, y) такая таблица (таблица с двойным входом) имеет, например, следующий вид:

^\у 0   1  2  3  4 
 х                 
0   100 81 63 45 28
1   100 83 65 48 32
2   100 84 68 51 35
3   100 84 69 54 39
4   100 85 70 56 42

    В клетках левого столбца этой таблицы приводятся значения аргументах, в клетках верхней строки — значения аргумента .у. В остальных клетках таблицы находятся значения функцииz. При этом если значениех выбирается в клетке z-й строки, а значениеу — в клетке к-го столбца, то соответствующее значение z помещается в клетке, лежащей на пересечении z-й строки и к-го столбца. Например, при х = 3,у = 2 имеем z = 69.
    Приведенная таблица соответствует значениям относительной влажности z (в процентах) в зависимости от температуры х (в градусах по Цельсию) сухого термометра и разности температуру сухого и влажного термометров.

ГЛАВА 9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

    Самым важным в настоящем курсе является аналитический способ задания, когда функция задается с помощью аналитического выражения (с помощью формулы). В примере 1 функция была задана аналитически, причем область ее определения мы нашли из геометрических соображений. Однако часто функция двух переменных задается только с помощью формулы, и при этом область определения функции не указывается.
    Если функция двух переменных задана с помощью аналитического выражения без каких-либо дополнительных условий, то областью ее определения принято считать множество всех таких точек плоскости Оху, для которых это выражение имеет смысл и дает действительное значение функции.
    Например, многочлен первой степени
                          z = ax + by + c, многочлен второй степени
z = ax² + bxy + cy² + dx + ey + f
и т. д. определены для всех пар чисел (х, у), т. е. во всей плоскости Оху.
    Рациональная функция двух переменных, т. е. отношение двух многочленов относительно х и у, определена во всех точках плоскости Оху, за исключением тех точек, в которых знаменатель обращается в нуль. Так, рациональная функция
z = x²^
x - y
определена на всей плоскости Оху, за исключением прямой х -у = 0.

    Пр им ер 2. Найти область определения функции z = ln(1 - x² -y²).
    А Функция задана только с помощью формулы. Областью определения этой функции является множество всех тех точек, для которых выражение ln(1 - x² - y²) определено, т. е. множество точек, для которых
1 - x² - y² > 0, или x² + y² < 1.

Так как выражение x² + y² представляет собой квадрат расстояния точки Р (х; у) от начала координат, то в область определения данной функции войдут только те точки, расстояния которых от начала координат меньше единицы. Множество всех таких точек находится внутри круга с центром в начале координат и радиусом, равным единице (рис. 9.2). ▲

§9.1. Функции нескольких переменных

9

Рис. 9.2

Рис. 9.3

    Пример 3. Найти область определения функции z = arcsin(x² + у² - 3).
    Л Функция определена при условии
                        -1 < x² + у² - 3 < 1, которое равносильно условию
2 < x² + у² < 4.
Граничными линиями области определения являются окружности x² + у² = 2 их² + у² = 4, которые также принадлежат этой области.
    Таким образом, область определения функции состоит из всех точек, лежащих между окружностями x² + у² = 2 и x² + у² = 4, и точек, лежащих на этих окружностях (рис. 9.3). А

    2. График функции двух переменных. График функции одной переменной у = f (x) в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости есть, вообще говоря, линия. Графиком функции двух переменных

z = f (x, у) в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является в общем случае поверхность.
    В самом деле, пусть функция z = f (x, у) определена в области G (рис. 9.4). Каждой точке Р (х; у) этой области соответствует определенное значение функции z = f (P). Примем это значение z за аппликату некоторой точки М в системе координат Oxyz. Абсциссу и ординату для этой точки

Рис. 9.4

ГЛАВА 9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

возьмем такими же, как и для точки Р. (Это значит, что точка Р является проекцией точки М (х; у; z) на плоскость Оху.)
    Таким образом, каждой точке Р области G соответствует вполне определенная точкаМ в пространстве, а всей области — некоторое множество точек М, образующее, вообще говоря, поверхность.
    Эта поверхность называется графиком функции z = f (x, у).
    Если поверхность является графиком некоторой функции двух переменных, то уравнение, задающее эту функцию, называется уравнением соответствующей поверхности.
    В аналитический геометрии уже рассматривались некоторые поверхности, которые являются графиками функций двух переменных. Напомним некоторые из них.
    Эллиптический параболоид является графиком функции





2    2
x у z = — + —

2 p  2 q

(р и q — постоянные одинакового знака; см. рис. 4.20, кн. 1, с. 222). Гиперболический параболоид является графиком функции


22
x у z = — -—
2p 2q

(р и q — постоянные одинакового знака; см. рис. 4.21, кн. 1, с. 222).
   Верхняя часть эллипсоида


2    2    2
                             x у z ----1----1--
2    12   2
a b c

= 1

является графиком функции


2 x ~2 a

2 у





b ²

а нижняя его часть — графиком функции





^1

2 x

2 у b b

z =

—c





(см. рис. 4.16, кн. 1, с. 217).


    3. Функции трех и большего числа переменных. Мы подробно рассмотрели понятия функции двух переменных и ее области определения.

§9.1. Функции нескольких переменных

11

Однако на практике встречаются функции трех или большего числа переменных. Например, объем V прямоугольного параллелепипеда зависит от трех величин — длины а и ширины Ъ его основания и высоты h параллелепипеда, т. е. V= аЪк
    Дадим определение функции трех переменных.
    Пусть М— некоторое множество троек действительных чисел. Функцией трех переменных называется правило, по которому каждой тройке чисел (x, y, z) е M соответствует единственное число u е L при условии, что каждое число и е L соответствует хотя бы одной тройке (x, y, z)е M.
    При этом х, у и z называют независимыми переменными (или аргументами), и — зависимой переменной, или функцией (как и само правило соответствия), множество М — областью определения функции, аЬ —множеством значений функции.
    Функции трех переменных обозначаются так же, как и функции одной или двух переменных: и = f (x, y, z), w = w (x, y, z) и т. д.
    Функцию трех переменных и = f (x, y, z) можно рассматривать как функцию точки Р (х; у; z), имеющей координаты х, у, z в пространственной системе координат Ornyz.
    Пользуясь геометрической терминологией, аналогичной той, которую мы приняли для функции двух переменных, будем говорить, что область определения функции и = f (x, y, z) есть некоторое множество точек в пространстве.
    Способы задания функций трех переменных и = f (x, y, z) могут быть самыми различными, но важнейшим в данном курсе является аналитический способ задания, когда функция задается с помощью аналитического выражения (формулы). При этом часто область определения функции не указывается. В последнем случае областью определения функции принято считать множество всех тех точек Р (х; у; z) пространства, для которых это выражение имеет смысл и дает действительное значение функции и.
    Пример. Найти область определения функции и = -J1 - x² - y² - z².
    Д Данное выражение дает действительные значения и тогда и только тогда, когда
1 - x² - y² - z ² > 0, или x² + y² + z ² < 1.
    Таким образом, областью определения функции является шар единичного радиуса с центром в начале координат. Точки граничной шаровой поверхности также относятся к области определения функции. ▲

ГЛАВА 9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

    Аналогично можно ввести понятия функции четырех, пяти и вообще п переменных.
    Областью определения функции п переменных является некоторое множеством, состоящее из систем действительных чисел (x1; x2;...; xₙ). Обозначения функции п переменных аналогичны обозначениям функций двух и трех переменных: u = f (x1, x2, ..., xₙ) и т. д. Для того чтобы сохранить удобную геометрическую терминологию, функцию п переменных u = f (x1, x2, ..., xₙ) при n > 3 также часто рассматривают как функцию точки P(x1; x2; ...; xₙ) п-мерного пространства (см. § 2.7, п. 5) и пишут и = f (P ).




§ 9.2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Точки разрыва


   1. Основные определения. При рассмотрении предела функции одной переменной y = f (x) было введено понятие окрестности точки. Под окрестностью точки л мы понимали интервал, содержащий эту точку. При введении понятия предела функции двух переменных z = f (x, y) = f (P) будем рассматривать окрестность точки в плоскости Оху.
   Окрестностью точки Pq(xq; yq) называется внутренность круга с центром в этой точке. Если радиус этого круга равен §, то говорят о § -окрестности точки (рис. 9.5). Очевидно, что любая точкаР (л; у), принадлежащая § -окрестности точки Pq(xq; yq) , находится от этой точки на

расстоянии, меньшем §.

Рис. 9.5

                                 Число b называется пределом функции двух переменных z = f (x, y) = = f (P) при P ^Pq, если для любого числа е > Q найдется такая § -окрестность точки Pq(xq; yq) , что для любой точки Р (х; у) этой окрестности (за исключением, быть может, точки Ро) имеет место неравенство