Плоская статика

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

 

 
 

Плоская статика 
 
Методические указания 
к решению типовых задач курсового задания 
 
Под редакцией В.В. Дубинина 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

УДК 531.2 
ББК 22.21 
 П39
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/178/book1082.html 
 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Теоретическая механика» 
 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом 

МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний  
 
 
Рецензент 
канд. физ.-мат. наук А.В. Копаев 
 
 
П39 
Плоская статика: методические указания к решению типовых 
задач курсового задания / В. В. Дубинин, Н. В. Борохова, Г. И. Дуб-
ровина, А. В. Ремизов; под ред. В. В. Дубинина. — Москва: Изда-
тельство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 21, [3] с. : ил.  

 
ISBN 978-5-7038-4093-1 
В методических указаниях излагается методика решения задач, ха-
рактерных для курсового задания по теме «Плоская статика». Рассматри-
вается два типа задач: на равновесие системы сочлененных тел (где  
требуется определить реакции опор) и на равновесие плоского механизма 
(где определяются отдельные силы или моменты пар сил, обеспечиваю-
щие равновесие механизма, а затем — возникающие при этом реакции 
связей). 
Для студентов всех специальностей и направлений МГТУ им. Н.Э. Бау-
мана, изучающих курс теоретической механики.  
 
 
 
УДК 531.2 
 ББК 22.21 
 
 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
  Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4093-1                              МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Для наиболее успешного овладения методикой решения задач 
плоской статики и выполнения соответствующего курсового зада-
ния в методических указаниях рассмотрены решения типовых за-
дач [1], которые представлены в курсовом задании по плоской ста-
тике [2]:  
1) на равновесие сочлененных систем; 
2) на равновесие плоского механизма; 
3) смешанные задачи. 
Перед выполнением курсового  задания студент должен озна-
комиться с настоящими  методическими указаниями, а также с ра-
ботой [3]. 
 
1. Решение задач на равновесие сочлененных систем 

Пример 1.1. 
Система, состоящая из диска, балок АВ и DЕ, находится в рав-
новесии под действием силы Р, распределенной нагрузки и пары 
сил с моментом М.  

Дано: 
2
1 м,
AB
BD
DE
r




45 ,
 
  
60 ,
 
  
,
2
AB
AK 
 

2Н,
P 
 
1Н м,
M 

 
2 Н/м
q 
 (рис. 1.1, а). 
Определить реакцию заделки, реакцию шарнира А. 
Решение. 
Найдем неизвестные: 
•  реакцию шарнира 
—
,
;
A
A
A
X
Y
 
•  реакцию заделки 
,
,
.
E
E
E
X
Y
M
 
Задача статически определима: число независимых уравнений 
равновесия (3 3
9)
 
 равно числу неизвестных (2
2
2
3
9).




 
По условию задачи необходимо вычислить пять неизвестных ве-
личин. Для этого составим минимально требуемое количество урав-

нений равновесия, причем так, чтобы в каждое уравнение равновесия 
входило лишь одно неизвестное. Расчленим систему (рис. 1.1, б). 
Равнодействующая параллельных сил  

1,57 Н.
2
R
qr 


 

Сначала составим уравнения равновесия для схем 1—3 (см. 
рис. 1.1, б). 

Рис. 1.1 

Для схемы 1 

 

1
0;
N

kx
k
F





  

 
cos60
cos45
0;
A
E
X
X
P
R


 
 
 

 
1,24
2 0,5 1,57 0,707
0,87 Н;
E
X
 
 



 

1
0;
N

ky
k
F





 

sin60
cos45
0;
A
E
Y
Y
P
R


 
 
 

0,866
2 0,866 1,57 0,707
0,244 Н.
E
Y  
 


 
 

Определим момент заделки МЕ. Для этого составим уравнение 
равновесия для схемы 4 (см. рис. 1.1, б): 

1
(
)
0;
N

D
k
k
M
F





 

0;
E
E
M
Y DE
M



 
( 0,244) 1
0,756 Н м.
E
M
  
  

 

Для схемы 2 

1
(
)
0;
N

B
k
k
M
F





 

sin60
0;
2
A
AB
Y AB
P




 
sin60
0,866 Н.
2
A
P
Y 
 
 

Для схемы 3 

1
(
)
0;
N

D
k
k
M
F





  

(
cos45 )
sin 45
2

cos60
sin 45
sin60
cos45
0;
2

A
A
BD
Y
AB
BD
X BD
R

AB
P
BD
P
BD



 
 






 


 





 

0,707
0,866(1 0,707) 1,57 0,5

2 0,5 1 0,707
2 0,866(0,5
0,707)
0,88 Н;

A
X 






 
 
 


 

1,24 Н.
A
X

 

 
Пример 1.2.  
На рис. 1.2 приведена сочлененная система из трех тел. 
Дано: АВ = 2АK = DE = l = 1 м; α = 45°; β = 30°; Р = 2 Н; М = 1 Н·м;
2 Н/м.
q 
 
Определить реакцию заделки A  и момент в заделке E (рис. 1.2, а). 
Решение. 
Система состоит из трех тел. Стержни AB  и DE  нагружены 
произвольной плоской системой сил (три независимых уравнения 
равновесия). Диск C  нагружен плоской системой сходящихся сил. 
Независимых уравнений равновесия 3 + 2 + 3 = 8. Количество неизвестных 
в задаче 3 + 1 + 1 + 3 = 8. Задача статически определима. 
Равнодействующая распределенных сил с постоянной интенсивностью 
q   

 
1
2
1Н.
2
2
l
R
q




 

Расчленим систему тел и освободим тела от связей. 
Для схемы 1 (рис. 1.2, б) определим реакции 
B
N  и 
,
D
N
 построим 
треугольник сил для системы сходящихся сил:  

0.
B
D
P
N
N




 

Треугольник сил замкнут. 
Затем составим уравнения равновесия:  

1
0:
N

kx
k
F




 
sin 45
sin30
0;
B
D
N
N

 
 
 

1
0:
N

ky
k
F




 
cos45
cos30
0,
B
D
N
N
P

 
 

 

откуда 

(cos45
sin45 ctg30 )
;
B
N
P



 
 
1,04 Н;
B
N  
 
1,46 Н.
D
N

 

Для схемы 2 составим уравнения равновесия (см. рис. 1.2, б): 

1
0:
N

kx
k
F




 
sin 45
0,
A
B
X
N

 
 
0,735 Н;
A
X

 

1
0:
N

ky
k
F




 
cos45
0,
A
B
Y
R
N


 
 
1,735 Н;
A
Y 
 

1
(
)
0;
N

A
k
k
M
F




 
cos45
0;
4
A
B
l
M
R
N
l


 
 
0,985 Н м.
A
M


 

Рис. 1.2 

Для определения момента в заделке 
E
M
 используем схему 3 
(см. рис. 1.2, б) и составим уравнения равновесия: 

 

1
(
)
0;
N

E
k
k
M
F





 

 
cos30
0;
E
D
M
M
N
D E
 


 
 
2,26 Н м.
E
M
 

 

При решении задачи надо помнить, что для внутренних сил 
выполняются  условия 

  
,
B
B
N
N 

 
;
B
B
N
N 
 
 

  
,
D
D
N
N


 
,
D
D
N
N 
 
 

т. е. модули этих сил равны и противоположно направлены; знак 
«–» для момента заделки 
E
M
 означает, что круговая стрелка 
E
M
 
направлена в сторону, противоположную направлению, указанному 
стрелкой на схеме 3. 
 
2. Решение задач на равновесие плоского механизма 

Рассмотрим примеры решения задач на равновесие плоских  
механизмов. Механизмы имеют одну степень свободы. Поэтому 
необходимо из условия равновесия механизма определить величину 
какой-либо силы или момента пары сил, а затем — величины 
реакций опор. 

Пример 2.1. 
Механизм находится в равновесии. Он состоит из двух шестерен 
и зубчатой рейки. Шестерни находятся в зацеплении между 
собой. Ступенчатая шестерня, кроме того, находится в зацеплении 
с зубчатой рейкой, к которой присоединена линейная пружина 
жесткостью с. Другая шестерня скреплена спиральной пружиной с 
основанием. Жесткость этой пружины равна с1 (рис. 2.1, а). 
До приложения к рейке силы Q  пружины не деформированы. 
После приложения силы Q  деформация линейной пружины стала 
равной величине λ. 
Определить величину приложенной силы Q, величины реакций 
опор 
2,
O
 А и B  при равновесии механизма. При расчетах принять 

2
2
2 ,
R
r

 1
0,1
r 
 м, 
0,6
AB 
 м, 
0,3
BK 
 м, 
0,4
LK 
 м, 
30 ,
 
  
6
c 
кН/м, 1
100 (Н м) / рад,
c 

 
0,01
 
 м. 
Решение. 
Заданное значение деформации линейной пружины позволяет 
определить угловую деформацию спиральной пружины. 
Имеем 
2
2,
r
 

 в точке контакта шестерен 
1
2
2
1 1.
R
r
 
    
Отсюда находим угловую деформацию спиральной пружины: 

Рис. 2.1 

2
2
1
2
1
2
1
;
R
R
r
r r


 
 
 
2
0,2 рад.
 
 

Затем определяем силу упругости линейной пружины 

упр
;
F
c
   
упр
6000 0,01
60 Н
F



 

и момент от упругих сил спиральной пружины 

упр
1 1;
М
c

  
упр
100 0,2
20 Н м.
М




 

Расчленим систему тел, составим уравнения равновесия для 
схем 1 и 2 (рис. 2.1, б). 
Для схемы 1 

1
1
(
)
0;
N

O
k
k
M
F





 

1
упр
0.
Fr
M


 

Для схемы 2 

2
1
(
)
0;
N

O
k
k
M
F





  

2
2
0.
K
F R
F r



 

Отсюда получим 

  
упр

1
;
M
F
F
r



 
200 H;
F
F


 

 
2

2
;
K
R
F
F r


 
400 H.
K
K
F
F 


 

Для схемы 3 (см. рис. 2.1, б) определим величину силы Q. Для 
этого составим уравнение равновесия в проекции на ось Ву: 

0;
ky
k
F


  

упр
cos
0,
K
F
F
Q



 