Методические указания к решению задач олимпиады по сопротивлению материалов

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 

А.А. Горбатовский, А.И. Котов 
 
 
 
 
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ  
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОЛИМПИАДЫ  
ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ 
 
 
 
 
Под редакцией В.И. Цветкова 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 

2010 

УДК 539.3/.8 
ББК 30.121 
Г67 
Ре це нз е нт Г.Я. Пановко 

 
Горбатовский А.А. 
  
 
Методические указания к решению задач олимпиады по 
сопротивлению материалов / А.А. Горбатовский, А.И. Котов ; 
под ред. В.И. Цветкова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баума-
на, 2010. — 27, [1] с. : ил. 
 
В методических указаниях рассмотрены решения задач, предло-
женных участникам отборочного тура Всероссийской олимпиады по 
сопротивлению материалов, прошедшей в МГТУ им. Н.Э. Баумана в 
марте 2009 г. 
Для студентов машиностроительных специальностей высших 
учебных заведений. 
УДК 539.3/.8 
ББК 30.121 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010 

Г67 

Задача 1. Угол поворота сечения B балки OB (рис. 1) ограничен 

величиной 
.
BK

x

Ml
EI
ϑ
=
 Коэффициент жесткости пружины 
3 .
x
EI
Z
l
=
 

Определить потенциальную энергию U деформации системы. 
Дано: ,
,
,
.
x
l I
E M  

 
Рис. 1 
 
Решение. Вычислим угол поворота сечения B при отсутствии 

ограничителя. При сжатии пружины силой M
l
 (которую можно 

найти из уравнения равновесия балки 
0)
B
M
=
∑
 осадка пружины 

составит 
1
.
M
OO
lZ
=
 Таким образом, угол поворота 
BZ
ϑ
 сечения B, 

соответствующий деформации пружины, будет равен  

 
1
2
.
BZ

x

OO
M
Ml
l
EI
l Z
ϑ
=
=
=
 

Рис. 2 
 
Полный угол поворота сечения B в этом случае  

 
,
BZ
BF
ϑ = ϑ
+ ϑ
 

где 
BF
ϑ
 — угол поворота вследствие изгибной деформации балки 
(рис. 2). Значение угла 
BF
ϑ
 определяется перемножением эпюр по 
Мору — Верещагину (рис. 3): 

 
1
1
2
1
.
2
3
3
BF

x
x

Ml
lM
EI
EI
⎛
⎞
ϑ
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
 

Следовательно,  

 
1
4
,
3
3
B
BZ
BF

x
x
x

Ml
Ml
Ml
EI
EI
EI
ϑ = ϑ
+ ϑ
=
+
=
  

что превышает допустимое значение угла 
.
BK
ϑ
 
Приходим к выводу, что в процессе нагружения балки изги-

бающим моментом сечение B повернется лишь на угол 
,
BK

x

Ml
EI
ϑ
=
 

который соответствует части M∗ внешнего момента М, найденной 
из соотношения  

 
4
3
B
BZ
BF

x
x

M l
Ml
EI
EI

∗
ϑ = ϑ
+ ϑ
=
=
 → 
3
.
4
M
M
∗ =
 

Рис. 3 
 
Дальнейшее увеличение внешнего момента будет восприни-
маться абсолютно жесткими упорами в сечении B. 
Потенциальная энергия U деформации системы может быть 
определена как сумма энергии UZ, накопленной в пружине, и энер-
гии UF изгибной деформации балки: 

 

2
2
1
0

2

2
2

3
0

( )
1
(
)
2
2

3
1
3
3
4
                                
.
2
4
2
8

l
xP
BZ
BF
M
M
x
M
M

l
x

x
x
x

M
z dz
U
U
U
Z OO
EI

Mz
dz
EI
Ml
M l
l
l
EI
EI
EI
l

∗
∗
=
=

⎡
⎤
⎡
⎤
=
+
=
+
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦

⎛
⎞
⎜
⎟
⎛
⎞
⎝
⎠
=
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠

∫

∫

 

Задача 2. При работе неправильно спроектированного храпо-
вого механизма (рис. 4) в верхних и нижних волокнах пружины в 
заделке возникают пластические деформации.  
Как нужно изменить размеры H и (или) B, чтобы коэффициент 
запаса по началу текучести пружины увеличился в 2 раза? 

Рис. 4 
 

 
Рис. 5 
 
Дано: ,
,
,
,
.
l H B f E  
Решение. Расчетная схема (рис. 5) пружины храпового меха-
низма представляет собой консольную балку под действием со-
средоточенной силы F, обеспечивающей стрелу f прогиба сечения 

K, равную 

3
.
3
x

Fl
f
EI
=
 Сила F определяется через прогиб: 

 
3
3
.
x
EI
F
f
l
=
 

Наибольший 
внутренний 
изгибающий 
момент 

(
)
2
max
3
x
x
EI
M
Fl
f
l
=
=
 возникает в заделке, тогда наибольшее нор-

мальное напряжение можно выразить как  

 
max
max
2
(
)
/ 6

x

x

M
Fl
W
HB
σ
=
=
 

или, принимая во внимание, что 

3

12
x
HB
I =
, как  

 
max
2
3
.
2
EfB
l
σ
=
 

Таким образом, ширина пружины не влияет на максимальное 
напряжение, а следовательно, уменьшить напряжение в 2 раза 
(увеличив тем самым коэффициент запаса в 2 раза) можно путем 
уменьшения в 2 раза толщины пружины (высоты поперечного се-
чения). 

Задача 3. К предварительно ненапряженному валу OC (рис. 6) 
прикладывают момент M, обеспечивающий угол поворота 
C
ϕ  се-
чения C. Затем вал в этом сечении (не снимая нагрузки) привари-
вают к абсолютно жесткой опоре, после чего на участке BC вы-

сверливают отверстие диаметром 
0
.
2
d
d =
 

После окончания всех работ значение относительной линейной 
деформации, измеренное с помощью тензорезистора, составило ε. 
Определить значение момента M. 
Дано: ,
,
, ,
, .
C
l d
G
ϕ
ε
ν  
 

 
Рис. 6 
 
Решение. Для поворота сечения C сплошного вала на угол 
C
ϕ  

следует приложить момент 
.
2

p
C
GI
M
l

=
ϕ
 

Для закрепленного и высверленного вала внутренние крутящие 
моменты 
к
M , одинаковые во всех сечениях вала, можно найти из 
равенства 

 
к
к
к 2 ,
C
p
p
p

M l
M l
M
l
GI
GI
GI

⋅
+
= ϕ
=


 

где 

4
4
4
1
15
;
1
;
32
32
2
16

p
p
p
d
d
I
I
I
⎡
⎤
π
π
⎛
⎞
=
=
−
=
⎢
⎥
⎜
⎟
⎝
⎠
⎢
⎥
⎣
⎦


к
M
M
=
 — внутрен-

ний крутящий момент в сечениях сплошного вала; 
к
30
.
31
M
M
=


 
Рис. 7 
 
Напряженное состояние точек вала — чистый сдвиг (рис. 7): 

 
max
3
3
16 30
.
31
/16

K
K

p

M
M
M
W
d
d
⋅
τ
=
=
=
π
π



Согласно обобщенному закону Гука, 

 
3
max
1
(1
)
E
E
E

σ
τ
σ
ε =
− ν
=
+ ν  

или 

 
3
16 30 (1
)
.
31
M
Ed

⋅
+ ν
ε =
π
 

Таким образом, искомый момент равен 

3
3
3
31
0,203
0,406
.
16 30 (1
)
(1
)
Ed
Ed
M
Gd
π
=
ε =
ε =
ε
⋅
+ ν
+ ν
 

Задача 4. Прерыватель электромеханического реле (рис. 8) собран 
таким образом, что между контактами A и B (за счет предварительного 
натяга Δ0) существует сила взаимодействия N0. 
Какую силу F следует приложить, чтобы обеспечить надежное 
размыкание контактов, соответствующее зазору между A и B, равному 
0,5Δ0? 
Дано: ,
,
,
,
, .
C
u
l d
G
ϕ
ε
ν  
 

 
Рис. 8 
 
Решение. Натяг Δ0 равен сумме поджатий элементов 1 и 2 (см. 
рис. 8), при этом в процессе сборки вследствие равных жесткостей 
и контактной силы (рис. 9) каждый из контактов получает одно и 

то же перемещение 

3
0
1
2
3
x

N l
EI
Δ = Δ =
, следовательно, 

 

3
0
0
1
2
2
,
3
x

N l
EI
Δ = Δ + Δ =
  

откуда  

 
0
0
3
3
.
2

x
EI
N
l

=
Δ
 

До размыкания контактов A и B балочные элементы 1 и 2 работают 
совместно до тех пор, пока контактная сила (N0 – X1) (рис. 10) 
не станет равной нулю. Здесь X1 — сила, при которой происходит 
размыкание контактов A и B. 

Рис. 9 
 
 

 

Рис. 10 
 
Рассмотрев отдельно силу X1(F) (рис. 11), с использованием 
метода сил 
1
11
1
0
P
X Δ
+ Δ
=
 найдем: 

 

3

11

3

1

1
1
11

2
1
2
2
;
2
3
3

1
1
5
5
;
2
3
6

5
.
4

x
x

P

x
x

P

l
ll
l
EI
EI

Fl
ll
Fl
EI
EI

X
F

⎛
⎞
Δ
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠

⎛
⎞
Δ
= −
= −
⎜
⎟
⎝
⎠
Δ
= −
=
Δ