Экономико-математические методы в примерах и задачах

Экономико- 

математические  

методы  

в примерах и задачах

Москва 

ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК

ИНФРА-М 

2021

Учебное пособие

под редакцией А.н. Гармаша

Рекомендовано в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений, обучающихся 

по направлению  подготовки «Экономика»

Финансовый университет  

при правительстве Российской Федерации

УДК 334(075.8)
ББК 65.050я73
 
Э20

Экономико-математические методы в примерах и задачах: учеб. пособие / 
И.В. Орлова, Н.В. Концевая, Е.Н. Горбатенко, В.А. Боль шаков; 
под ред. А.Н. Гармаша. — М.: Вузовский учебник; ИНФРА-М, 2021. — 
416 с. + Доп. материалы [Электронный ресурс; Режим доступа http://
www.znanium.com].

ISBN 978-5-9558-0322-7 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-008969-0 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-100631-3 (ИНФРА-М, online)

Рассматриваются математические методы и прикладные модели, которые 

изучаются при подготовке бакалавров и магистров по направлениям «Экономика» 
и «Менеджмент». Для проведения компьютерных практических занятий, выполнения 
лабораторных и контрольных работ, подготовки к экзаменам по дисциплинам 
экономико-математического профиля. Все задания для самостоятельной 
работы рассчитаны на широкое использование стандартных офисных средств 
MS Excel и доступных студентам специальных компьютерных систем GPSS World 
(имитационное моделирование) и MS Project 2007 (система СПУ).

Материал пособия по отдельным разделам и вопросам можно использовать 

при изучении студентами бакалавриата и магистратуры ряда учебных дисци-
плин экономико-математического профиля.

Для студентов и аспирантов экономических направлений и специальностей, 

преподавателей дисциплин экономико-математического профиля, а также для 
практических работников в области финансово-экономической и управленче-
ской деятельности.

Э20

© Вузовский учебник, 2013

Р е ц е н з е н т ы : 
Е.Ю. Хрусталев, д-р экон. наук, профессор; 
И.Н. Мастяева, канд. техн. наук, доцент

ISBN 978-5-9558-0322-7 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-008969-0 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104389-9 (ИНФРА-М, online)

ФЗ  

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 

в соответствии с п.1 ч.2 ст.1

Материалы, отмеченные знаком 
, доступны  

в электронно-библиотечной системе znanium  

(www.znanium.com)

УДК 334(075.8)
ББК 65.050я73

ПРЕДИСЛОВИЕ

Широкое использование математических методов является не-
обходимым условием эффективной научной и практической деятель-
ности современного менеджера и экономиста.
Современный аппарат математических методов и компьютерных 
средств решения экономических и управленческих задач превратил-
ся в самостоятельную научную и прикладную области.
В настоящее время при подготовке экономистов и менеджеров 
в системе высшего профессионального образования экономико-ма-
тематические методы являются основой ряда учебных дисциплин, 
например: «Математические методы в экономике и управлении», 
«Методы оптимальных решений», «Исследование операций», «Ме-
тоды принятия управленческих решений» и др.
В этих дисциплинах, имеющих незначительный объем аудитор-
ных занятий и преподаваемых для разных направлений и программ 
подготовки, с одной стороны, отдельные темы содержания дисцип-
лин во многом аналогичны; с другой — разработка и издание отдель-
ных практикумов для некоторых тем незначительного объема не 
столь эффективно.
Материал пособия выстроен так, что может быть использован 
при подготовке студентов в течение двух–трех лет обучения (в том 
числе как справочное пособие), например, для студентов бакалаври-
ата, обучающихся по направлению подготовки «Экономика»; прак-
тикум будет полезен при последовательном изучении дисциплин: 
«Методы оптимальных решений», «Эконометрика», «Методы фи-
нансовой математики и оценка рисков».
В этой связи учебное пособие ориентировано, в первую очередь, 
на студентов заочной и дистанционной форм обучения, в рабочих 
учебных программах, для которых предусмотрен значительный объ-
ем самостоятельной работы.
Каждая глава пособия начинается с краткого изложения сути 
изучаемых методов и моделей, области применения и используемых 
компьютерных средств (в большинстве случаев это — стандартные 
офисные средства MS Excel), содержательных примеров применения 
математических методов и инструментальных средств. Далее приво-
дятся контрольные вопросы и упражнения с ответами (тесты).
В конце каждого раздела приводятся списки использованной 
литературы и предлагаются задачи для самостоятельного решения, 
в том числе на общее понимание методов изучаемого раздела (для 
бакалавров) и усложненные задачи, для решения которых необходи-
мы определенные навыки (продвинутые — со значком «*» — для ма-
гистров).

Разработка учебного пособия проводилась исходя из требований, 
установленных в Федеральном государственном образовательном 
стандарте высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) 
и обязательных при реализации основных образовательных про-
грамм по направлениям подготовки «Экономика», «Менеджмент» 
(бакалавриат, магистратура).
Использование материала пособия в учебном процессе будет 
способствовать формированию следующих профессиональных ком-
петенций:
 
• способности готовить аналитические материалы для управле-
ния бизнес-процессами и оценки их эффективности;
 
• умения использовать современные методы управления корпо-
ративными финансами для решения стратегических задач;
 
• способности использовать количественные и качественные 
методы для проведения научных исследований и управления бизнес-
процессами;
 
• способности принимать организационно-управленческие ре-
шения и оценивать их последствия;
 
• навыка проводить самостоятельные исследования в соответ-
ствии с разработанной программой.
Указанные компетенции позволят лучше ориентироваться 
в практических ситуациях для более глубокого изучения и понима-
ния методов разработки и принятия управленческих решений.
Учебное пособие отражает опыт преподавания авторами дисцип-
лин экономико-математического профиля и может быть использова-
но при проведении компьютерного практикума, выполнении лабора-
торных и контрольных работ. В ходе учебных занятий приводятся 
разнообразные примеры типовых экономико-математических моде-
лей с иллюстрацией получения решений компьютерными средствами; 
ставится задача развития практических навыков разработки и приме-
нения математических методов и компьютерных средств моделирова-
ния экономических, финансовых и управленческих процессов.
В написании учебного пособия участвовали преподаватели  
Финансового университета при Правительстве РФ: профессор Гар-
маш А.Н. (главы 1–5, параграф 7.1, глава 8, приложение 1); профес-
сор Орлова И.В. (главы 9, 10); доцент Концевая Н. В. (главы 11–13); 
доцент Горбатенко Е.Н. (глава 6; приложение 2); старший препода-
ватель Большаков В.А. (параграф 7.2).

Раздел I
МЕтОДы ОПтИМИзацИИ,  
ПОЛучЕнИЕ ОПтИМаЛьных РЕшЕнИй

Для получения оптимальных решений разрабатываются оптимиза-
ционные (экстремальные) модели, которые являются результатом 
практической реализации оптимального подхода к планированию 
и управлению (принципа оптимальности в управлении).

Глава 1. Задачи и методы 
линейной оптимиЗации

Суть принципа оптимальности состоит в стремлении 
выбрать такое управленческое решение  X = (x1, x2, …, xn),  где  xj, 
j = 1, …, n — его компоненты, которое наилучшим образом учиты-
вало бы внутренние возможности и внешние условия производ-
ственной деятельности хозяйствующего субъекта.
Необходимым условием использования принципа оптимальности 
является гибкость, альтернативность производственных ситуаций, 
в условиях которых приходится принимать те или иные управленче-
ские решения. Именно такими, как правило, и являются ситуации, 
составляющие повседневную практику хозяйствующего субъекта (вы-
бор производственной программы, формирование инвестиционного 
портфеля, прикрепление к поставщикам, маршрутизация, раскрой 
материалов, приготовление смесей и загрузка контейнеров и т.д.).

1.1.  
Общая задача Оптимизации, пОлучение  
Оптимальных решений средствами MS ExcEl

Математическое представление принципа оптимальности 
имеет вид общей задачи оптимального (математического) програм-
мирования:
 
• найти максимум или минимум функции

 
f(X) = f(x1, x2, …, xn); 
(1.1)

 
• при ограничениях 
 
g1(x1, x2, …, xn) {≤, =, ≥} b1,
 
g2(x1, x2, …, xn) {≤, =, ≥} b2,  
(1.2)
 
……………………………………
 
gm(x1, x2, …, xn) {≤, =, ≥} bm,

 
xj ≥ 0,      j = 1, 2, …, n.  
(1.3)

Здесь  f (X) — математическая запись критерия оптимальности — 
целевая функция (ЦФ). Критерий оптимальности — некоторый эко-
номический показатель, позволяющий сравнивать эффективность 
тех или иных управленческих решений (формализует слова «наилуч-
шим образом» в принципе оптимальности). Критерий оптимальности 
должен быть измеряемой величиной, должен быть выражен количе-
ственно и в любой частной задаче, выражая цель ее решения, должен 
соответствовать общей цели деятельности всей рассматриваемой 
системы. Традиционные критерии оптимальности в экстремальных 
моделях — «максимум прибыли», «минимум затрат», «максимум объ-
ема работ (услуг)» и др.
Условие (1.3) необязательно, но его всегда можно добиться. Обо-
значение  {≤, =, ≥}  говорит о том, что в конкретном ограничении 
возможен один из знаков  ≤, =  или  ≥.  Ограничения (1.2) называют 
функциональными, а ограничения (1.3) — прямыми.
Ограничения в задаче оптимального программирования пред-
ставляют собой формализованное представление в принципе опти-
мальности слов «учитывало бы внутренние возможности и внешние 
условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта».
Областью определения или областью допустимых решений 
(ОДР) задачи оптимального программирования принято называть 
всю совокупность (множество) ее допустимых решений.
Вектор  Х  (набор управляющих переменных  xj , j = 1, 2, ..., n) 
называется допустимым решением или планом задачи оптималь- 
ного программирования, если его компоненты  xj  удовлетворяют 
системе ограничений (1.2)–(1.3). План  Х * (допустимое решение), 
который доставляет максимум или минимум целевой функции  
f(Х *) = max(min) f (x1, x2, …, xn)  называется оптимальным планом 
(оптимальным решением или просто решением) задачи оптималь-
ного программирования.
Таким образом, выбор оптимального управленческого поведения 
в конкретной альтернативной производственной ситуации связан 
с проведением с позиций системности, адекватности и оптимально-
сти экономико-математического моделирования [4] и решением 
задачи оптимального программирования.
Решить задачу оптимального программирования (получить решение 
по оптимизационной ЭММ) — значит:
 
• во-первых, найти оптимальный план  Х * = (x1
*, x2
*, ..., xn
*), который, 
с учетом интерпретации его компонент, и определяет оптимальное 
поведение в рассматриваемой ситуации;
 
• во-вторых, найти оптимальное значение (максимум или минимум) 
целевой функции  f(Х *) = f(x1
*, x2
*, ..., xn
*),  которое и представляет 
собой экономическую оценку последствий предлагаемого решения (
поведения).

Иногда невозможно получить решение по оптимизационной модели: 
область допустимых решений может оказаться пустым множеством (
система ограничений задачи противоречива, несовместна) 
или целевая функция является неограниченной на ОДР.
Первый случай связан с некорректностями в постановке экономической 
задачи или(и) разработанной ЭММ. Например, имеющимся 
объемом ресурсов заведомо невозможно выполнить даже те 
минимальные объемы работ, которые закладываются в ограничения 
как необходимые минимальные плановые задания. Если в данной 
ситуации все же необходимо найти решение задачи, то следует построить 
непустое множество допустимых решений, исключив или 
«ослабив» одно или несколько ограничений, т.е. фактически соблюсти 
принцип альтернативности.
Второй случай обычно означает, что ЭММ разработана некорректно, 
и некоторые существенные ограничения в ней отсутствуют.
Случай выбора управленческого решения по нескольким показателям 
называют многокритериальной оптимизацией (многокритериальным 
поиском).
На практике многокритериальный поиск тем или иным способом 
сводят к однокритериальному [9, 19]: методом последовательных 
уступок, способом выделения «главного» показателя, оптимизацией 
по обобщенной целевой функции и др.
Для автоматизации решения задач оптимизации могут быть использованы 
стандартные офисные средства Microsoft Excel — надстройка (
оптимизатор) Поиск решения.
Однако для корректного и эффективного использования программных 
средств необходимо знать основы оптимизации, изложенные 
в рассматриваемом разделе.
При решении задач оптимизации в данной работе применяются 
наиболее часто используемые в настоящее время средства MS Excel 
2007 и MS Excel 2010.
В Excel 2007 загрузка надстройки Поиск решения проводится сле-
дующим образом.
1. Щелкните значок Кнопка Microsoft Office 
, затем щелкните 
Параметры Excel.
2. Выберите команду Надстройки и в окне Управление выберите 
пункт Надстройки Excel.
3. Нажмите кнопку Перейти.
4. В окне Доступные надстройки активизируйте Поиск решения, затем 
нажмите кнопку ОК.
5. Если Пакет анализа или Поиск решения отсутствуют в списке поля 
Доступные надстройки, то для проведения поиска нажмите кнопку 
Обзор.

В случае появления сообщения о том, что пакет статистического 
анализа не установлен на компьютере и предложения установить его, 
нажмите кнопку Да.
После загрузки пакета анализа на вкладке Данные становится до-
ступной команда Поиск решения.
Установка надстройки Поиск решения в Excel 2010 проводится сле-
дующим образом.
1. Откройте вкладку Файл.
2. Нажмите кнопку Параметры и выберите категорию Надстройки.
3. Убедитесь, что в нижней части диалогового окна Параметры Excel 
в поле Управление выбран элемент Надстройки Excel, и нажмите кнопку 
Переход.
4. В диалоговом окне Надстройки установите флажки Поиск решения 
и нажмите кнопку ОК.
Если отобразится сообщение о том, что надстройку не удается 
запустить, и выведется предложение установить ее, нажмите кнопку 
Да, чтобы установить надстройку.
Проиллюстрируем и подробно опишем на примере линейной 
задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов тех-
нологию оптимизации средствами MS Excel. В последующих приме-
рах оптимизация проводится с описанием и иллюстрацией только 
основных технологических этапов.
 
d Пример 1.1. На некоторый временной период, например месяц, 
осуществляется формирование производственной программы вы-
пуска двух видов продукции — P1  и  P2.  На выпуск единицы продук-
ции  P1  требуется 1 кг сырья  S1,  2 кг сырья  S2  и 1 чел.-день трудо-
затрат. На выпуск единицы продукции  P2  требуется 3,5 кг сырья  S1, 
0,5 кг сырья  S2  и 1 чел.-день трудозатрат. Всего имеется 350 кг сырья 
S1,  240 кг сырья  S2  и 150 чел.-дней трудозатрат; удельная прибыль 
(на единицу продукции) от реализации продукции  P1  составляет 
10 руб., а от продукции  P2 — 20 руб.
Необходимо выбрать такой вариант месячной производственной 
программы, который позволяет максимизировать прибыль от про-
дажи готовой продукции.

Экономико-математическая модель задачи
Введем необходимые обозначения, пусть  х1 — объем продукции  
P1;  x2 — объем продукции  P2.  Таким образом, формально план 
производства представляет собой вектор  X = (x1, x2).
С учетом введенных обозначений математическая модель рассматриваемой 
задачи по критерию «максимум прибыли от реализации 
готовой продукции» имеет вид:
 
• целевая функция:    f(Х) = 10 ⋅ х1 + 20 ⋅ х2 → max;
 
• ограничения:

х1 + 3,5 ⋅ х2 ≤ 350 
— ограничение по запасу сырья  S1;
2 ⋅ х1 + 0,5 ⋅ х2 ≤ 240 
— ограничение по запасу сырья  S2;
               х1 + х2 ≤ 150 
— ограничение по труду;
                       х2 ≥ 60 
– ограничение по объемам продукции  P1;
                        х1 ≥ 0 
– ограничение по объемам продукции  P2.

Получение решения (реализация ЭММ)
Рассматриваемая ЭММ представляет собой задачу линейной 
оптимизации. Получим решение этой задачи средствами MS Excel 
(воспользуемся надстройкой Поиск решения Excel 2010).
На первом этапе оформляется рабочий лист Excel, необходимо 
выполнить следующие действия.
1. Определить ячейки переменных и ввести исходные данные. Введите 
исходные данные задачи, как показано на рис. 1.1. В нашей  
задаче компоненты вектора  X = (x1, x2) помещены в ячейках  A2:B2 
(изменяемые, переменные ячейки — в них будут находится значения 
переменных). Стартовые условия — нулевые значения в изменяемых 
ячейках («пустые» ячейки).

рис. 1.1.  Определены ячейки переменных и введены исходные данные

2. Определить целевую ячейку и ввести зависимость для целевой 
функции.
Поместить курсор, например, в ячейку С3, произойдет выделение 
ячейки.
Поместить курсор на кнопку Мастер функций, расположенную на 
панели инструментов.
Ввести Enter. На экране появляется диалоговое окно Мастер функций.
В этом окне в Категории выбрать категорию Математические.
В разделе Функции выбрать строку СУММПРОИЗВ (рис. 1.2). На эк-
ране появляется диалоговое окно СУММПРОИЗВ (рис. 1.3).
В строку Массив 11 этого окна ввести массив ячеек А2:В2.
В строку Массив 2 ввести А3:В3.

1 Адреса ячеек во все диалоговые окна удобно вводить не с клавиатуры, а, поме-
щая курсор мыши в ячейки, чьи адреса следует ввести.

рис. 1.2.  Выбрана функция

рис. 1.3.  Введены данные для функции СУММПРОИЗВ

Массив 1 будет использоваться при вводе зависимостей для огра-
ничений, поэтому на этот массив надо сделать абсолютную ссылку1. 
На рис. 1.4. показано, что в ячейку С3 введена функция.

1 В зависимости от выполняемых задач в Excel можно использовать относитель-
ные ссылки, определяющие положение ячейки относительно положения ячейки 
формулы, и абсолютные ссылки, которые всегда указывают на конкретные ячей-
ки. Если перед буквой или номером стоит знак доллара, например, $A$2, то ссыл-
ка на столбец или строку является абсолютной. Относительные ссылки автома-
тически корректируются при копировании, а абсолютные ссылки — нет.