Игровые модели для экономических задач

ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ 
ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ 
ЗАДАЧ

В.П. НЕВЕЖИН
А.И. БОГОМОЛОВ

Москва
ИНФРА-М
2022

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом профессионального 
образования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика» 
(квалификация (степень) «бакалавр») 
(протокол № 5 от 11.03.2019)

УДК [519.83+330.42](075.8)
ББК 22.18:65.050я73
 
Н40

А в т о р ы:
Невежин В.П. — гл. 2, 5; гл. 3, 9 (совместно с А.И. Богомоловым);
Богомолов А.И. — введение, гл. 1, 4, 6–8; гл. 3, 9 (совместно с В.П. Невежиным)

Р е ц е н з е н т ы :
Бабешко Л.О., доктор экономических наук, профессор Финансового университета при Правительстве Российской Федерации;
Алгазин С.Д., доктор физико-математических наук, ведущий сотрудник Института проблем механики имени А.Ю. Ишлинского Российской академии наук

ISBN 978-5-16-015007-9 (print)
ISBN 978-5-16-107503-6 (online)
© Невежин В.П., Богомолов А.И., 
2019

Невежин В.П.
Н40  
Игровые модели для экономических задач : учебное пособие / 
В.П. Невежин, А.И. Богомолов. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 195 с. — 
(Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/textbook_
5cac4aab732631.13260132.

ISBN 978-5-16-015007-9 (print)
ISBN 978-5-16-107503-6 (online)
В учебном пособии рассмотрены теоретические и практические аспекты теории игр, представлены примеры и задания для выполнения 
расчетных работ по темам: решение матричных игр в чистых стратегиях; 
решение матричных игр 2  2 в смешанных стратегиях и моделирование 
результатов; методы решения матричных игр m  n в смешанных стратегиях; биматричные игры, игры с природой (статистические игры), нахождение равновесных и оптимальных стратегий по Нэшу и Парето.
Каждая рассматриваемая тема сопровождается кратко изложенной 
теорией, решением типовых примеров, а также заданиями для самостоятельной работы студентов в аудитории или дома. Приведенные задания 
могут быть использованы как для промежуточного контроля знаний, так 
и в качестве практических заданий на экзамене или зачете.
Материал учебного пособия соответствует требованиям федеральных 
государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения по направлениям подготовки 38.03.01 и 38.04.01 
«Экономика».
Предназначено для бакалавров, магистров и аспирантов экономических специальностей, преподавателей вузов, научных работников 
и специалистов аналитических служб, изучающих такие дисциплины, 
как «Теория игр», «Элемен ты теории игр», «Теория игр и стратегическое 
поведение фирм», «Математические методы и модели исследования операций» и др.
УДК [519.83+330.42](075.8)
ББК 22.18:65.050я73

Введение

Игра — это любая ситуация, в которой прибыль субъекта — 
инвестора, предприятия, страховой компании и т.д. (игрока) зависит не только от его собственных действий, но и от поведения 
остальных участников игры. Игра подразумевает обязательное 
наличие столкновения интересов. Достаточно часто в коммерческой сфере одно предприятие для получения прибыли использует 
или применяет свои условия или цели, а другое, противоположное, 
противодействуя или препятствуя им, применяет свои. Эти противодействия могут носить как пассивный, так и активный характер, 
по это му следует учитывать различные варианты поведения противоположной стороны и ее действия.
Поведение двух противоборствующих сторон и его исходы 
при различных сочетаниях альтернатив и состояний можно представить в виде математической модели, называемой игрой.
Если одной из двух противоположных сторон в игре выступает 
сторона, которая является пассивной, и она активно не противодействует достижению намеченной цели, то такую игру называют 
игрой с природой. В качестве такой стороны могут выступать, например, реакция населения на новые виды товаров, недостаточная 
информированность о коммерческих операциях, погодные условия, 
которые надо учитывать при выпуске уборочной техники для сбора 
урожая, и т.п.
Если же в качестве противоположной стороны выступает активная сторона, которая противодействует достижению намеченной 
цели, т.е. происходит столкновение противоположных целей, решений, интересов, мнений, то ситуацию называют конфликтной. 
При наличии конфликтной ситуации, при которой проявляется 
неопределенность поведения противника, принятие решений затрудняется. В этом случае известно только, что противник сознательно стремится обеспечить себе наибольший успех, но в этом 
случае неизвестно, в какой мере противник оценивает обстановку, 
возможные последствия, ваши возможности и намерения, а значит, 
каждой стороне конфликта приходится принимать свое решение. 
Таким образом, и для обоснования оптимальных решений в конфликтных ситуациях необходим математический аппарат, которым 
может служить теория игр.
Теория игр — математический метод изучения оптимальных 
стратегий игр. Можно сказать, что под игрой понимается процесс, 

в котором участвуют две стороны и более, ведущие борьбу за реализацию своих интересов. При этом каждая сторона имеет свою цель 
и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу 
или проигрышу — в зависимости от поведения другой стороны.
Теорию игр ряд авторов включают в раздел исследования операций, входящий в прикладную математику. Методы теории игр 
в настоящее время находят применение не только в экономике, 
но и в других науках, в том числе и таких, как химия, биология, 
психология, политология, этика и др. Так, например, биологи 
в 1970-х гг. стали широко использовать теорию игр для исследования поведения животных и теории эволюции. Также теория игр 
стала активно использоваться при создании искусственного интеллекта и в кибернетике.
В образовательном процессе высшей школы изучается ряд дисциплин, в которые входят основы теории игр, а также полноценные 
курсы по теории игр и по их применению в экономике.
Данное учебное пособие ориентировано на получение не только 
теоретических знаний по теории игр, но и их практическое применение в экономических задачах.
В совокупности с другими дисциплинами профессио нального 
цикла дисциплина «Игровые модели для экономических задач» 
обеспечивает инструментарий для формирования у студентов 
бакалавриата или магистратуры следующих общекультурных 
и профессио нальных компетенций:
 
– культуры мышления, способности к обобщению, анализу, 
восприятию информации, постановке цели и выбору путей 
ее достижения;
 
– умения логически верно, аргументированно и ясно строить 
вербальные (словесные) модели игровых ситуаций;
 
– способности разрабатывать экономико-математические модели в соответствии с профилем своей профессио нальной 
деятельности, использовать основные методы естественнонаучных дисциплин в профессио нальной деятельности для теоретических и экспериментальных исследований;
 
– способности осуществлять профессио нальную деятельность 
на основе современных информационных технологий, формулировать и решать финансово-экономические задачи 
с применением тории игр, проводить расчеты, анализ и систематизацию результатов с использованием математического аппарата и современных технических средств;
 
– способности оценивать качество модели и адекватность прогнозов.

Исходя из изложенных компетенций, которыми должен обладать студент после изучения этой дисциплины, в данное учебное 
пособие включены материалы, освоение которых в зависимости 
от учебного плана возможно как последовательно (рекомендуется), 
так и выборочно.
В главе 1 приведен краткий экскурс в историю возникновения 
и развития теории игр.
В главе 2 рассмотрены антагонистические матричные игры 
с нулевой суммой выигрыша; предложены задачи на построение 
платежных матриц и нахождение оптимальных стратегий игроков 
в случаях наличия и отсутствия седловой точки игры.
В главе 3 приведена теорема Нэша, описаны бескоалиционные 
биматричные игры и методы их решения в чистых и смешанных 
стратегиях; приведены примеры решения задач и задания для самостоятельной работы.
В главе 4 рассмотрены методы и задачи нахождения Парето-эффективных решений; приведены примеры решения задач и задания 
для самостоятельной работы.
В главе 5 показаны игры с природой; приведены примеры решения задач и задания для самостоятельной работы.
В главе 6 показано представление игровых задач в расширенной 
форме (в виде позиционных игр); приведены примеры решения 
задач и задания для самостоятельной работы.
В главе 7 описаны бескоалиционные игры N игроков, приведены 
примеры решения задач и задания для самостоятельной работы.
В главе 8 кратко изложены понятия и примеры бесконечной 
игры, даны задания для самостоятельной работы.
В главе 9 показаны некоторые онлайн-калькуляторы для решения игровых задач.
Все примеры и задачи, представленные в пособии, прошли апробацию в течение ряда лет в образовательном процессе студентов, 
обучающихся по дисциплине «Теория игр», а также по отдельным 
разделам теории игр, включенным в другие дисциплины, преподаваемые в Финансовом университете при Правительстве Российской Федерации.

Глава 1. 
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕОРИИ ИГР

1.1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ИГР

Появилась теория игр как наука сравнительно недавно. Ее 
основы были заложены вместе с основами такой дисциплины, как 
теория вероятностей, в XVII в. Но почти 300 лет она не развивались. В XVIII в. сформировались стратегии (или оптимальные решения) в математическом моделировании. А. Курно и Ж. Бертран 
рассматривали задачи производства в условиях олигополии, позже 
ставшие примерами теории игр.
Как и теория вероятностей, теория игр началась с анализа 
азарт ных и спортивных (скачки) игр, которые хорошо иллюстрируют ее основные положения и идеи (например, уровень информированности игроков, ходы и стратегии, выигрыш и результат, и т.д.). 
В начале XX в. выдающиеся математики Э. Борель и Э. Цермель 
выдвинули идею математической теории конфликта интересов. 
Признанным основоположником теории игр является Дж. фон 
Нейман (1903–1957) — выдающийся математик венгерского происхождения, который добился значительных результатов в развитии теории выпуклых множеств и использовал этот достаточно 
абстрактный научный материал в качестве фундаментального 
основания, разработанного им для научного направления, которое 
называется теорией игр. Основная работа, определившая появление теории игр в качестве математической науки, — это монография Дж. Фон Неймана, О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение», увидевшая свет в 1944 г.
Благодаря усилиям Дж. фон Неймана теория игр сформировалась как фундаментальная математическая наука, причем 
с первых шагов своего развития она использовалась в качестве 
эффективного средства решения масштабных политических и военных задач, надежно прикрытых завесой секретности. Поэтому 
наиболее доступными были результаты приложения теории игр 
к решению экономических задач, что весьма актуально и в настоящее время, которое характеризуется развитием традиционных 
и появлением новых видов конфликтов участников экономических отношений на разных уровнях, таких как макроэкономика 
и микроэкономика.

Такие известные ученые, как Р. Ауманн, Р. Зелтен, Дж. Нэш, 
Дж. Харсаньи, У. Викри, Дж. Миррлис, Т. Шеллинг, Дж. Акерлоф, 
М. Спенс, Дж. Стиглиц, Л. Гурвиц, Э. Мэскин, Р. Майерсон, стали 
Нобелевскими лауреатами по экономике за достижения в области 
теории игр и экономической теории.
После окончания Второй мировой войны теория игр получила 
широкое распространение, что было связано с образованием биполярного мира. Например, Дж. фон Нейман и М. Дрешер применяли 
теорию игр для выработки оптимальной стратегии при атомной 
бомбардировке Японии еще в годы войны. В военном деле был 
введен термин «исследование операций». Была и такая задача, 
в которой рассматривалась схватка самолета и подводной лодки. 
Самолету необходимо было найти наиболее подходящую схему 
для поиска лодки в конкретном районе поиска, а его противнику — 
определить наилучший вариант сокрытия от наблюдения.
Практически все ученые, которые работали над теорией игр 
в тот промежуток времени, сотрудничали с РЭНД Корпорэйшн, занимавшейся исследованием использования межконтинентальных 
баллистических ракет.
Дж. фон Нейман в своей монографии первоначально рассматривал игры с нулевой суммой, т.е. ситуации, когда выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. Игры двух игроков с начальной нулевой суммой называют антагонистическими. Но при 
росте числа игроков необходимо учитывать возможность их объединения в коалиции для увеличения среднего выигрыша за счет 
остальных. Тут как раз возникает понятие кооперативных игр, т.е. 
игр, в которых игроки могут вступать в коалиции и заключать соглашения. Основное внимание при изучении таких игр уделялось 
разделению выигрыша между участниками коалиции. Через шесть 
лет после появления монографии Дж. фон Неймана в свет вышла 
диссертация, посвященная некорпоративным играм (в них было 
недопустимо заключение объединений между игроками) и играм 
с ненулевой суммой (т.е. выигрыш одного игрока не равен проигрышу другого), автором которой являлся Джон Форбс Нэш, американский математик. Его воображение поразила работа Дж. фон 
Неймана, по это му в 21 год Нэш написал собственную работу 
на данную тему.
Основной концепцией работы Нэша является принцип равновесия, который сегодня носит его имя. Равновесие Нэша — это определенная комбинация стратегий, согласно которой игроки не заинтересованы в изменении своих стратегий в одностороннем порядке. 
Нэш доказывает, что такое равновесие присутствует во всех ко

нечных играх (т.е. с ограниченным количеством стратегий у каждого игрока) с любым набором игроков. Ранее похожее равновесие 
рассматривалось только для парной игры с нулевой суммой.
Период, разделяющий издание работ Нэша и Дж. фон Неймана, 
небольшой, — всего шесть лет, но предпочтение в исследованиях 
теории игр отдавалось монографии Неймана. В 1970–1980-е гг. немецкий экономист Р. Зелтен дополнил теорию Нэша равновесием 
для многоходовых игр с полной информацией. Он предположил, 
что в его основе лежит стремление игрока принимать рацио нальные 
решения на каждом шаге игры. Определение обычного выигрыша 
было дополнено до «вектора выигрыша».
Также в период написания Нэшем своей работы, т.е. в 1950 г., 
была сформирована фундаментальная проблема теории игр. Ее 
авторами стали М. Флад и М. Дрешер, а назвал эту проблему дилеммой заключенного А. Такер. Основная идея данной концепции 
состоит в том, что игроки не всегда будут сотрудничать друг 
с другом, даже если это будет в их интересах. Берется предположение, что заключенный будет максимизировать свой собственный 
выигрыш, не заботясь при этом о других.
В 1960-х гг. Дж. Харшаньи ввел понятие игр с неполной информацией. Также им была разработана концепция байесовских 
равновесий. Харшаньи рассматривал ситуации, в которых у одного игрока нет достаточной информации о возможных выигрышах своего противника и он должен оценивать их с помощью 
вероятностей.
Следует отметить выдающийся вклад в развитие теории игр Томаса Шеллинга, американского экономиста. В 1960 г. вышла в свет 
его работа «Стратегия конфликта». В ней были рассмотрены игры 
с ненулевой суммой в контексте отношений США и СССР. Один 
из основных момен тов его книги: главное — убедить противника 
сесть с вами в одну лодку, тогда у него появляется общий с вами 
интерес — как минимум не опрокинуть теперь уже совместную 
лодку.
Также в работе была рассмотрена теория фокальных точек (равновесных), которые выделяются из множества равновесия в связи 
с общим опытом игроков.
В 1960-х гг. исследования в области теории игр начал Р. Ауманн, который занимался стратегическим взаимодействием сторон, 
нацеленных на долговременное сотрудничество (повторяющиеся 
кооперативные игры). Он исследовал влияние числа участников, 
регулярность взаимодействия, качество прогнозирования, степень 
определенности поведения других игроков на саму игру.

Одна из основных идей Ауманна — концепция общего знания. 
Проиллюстрируем ее на примере ситуации с тремя девушками, 
едущими в поезде. Пусть это будут Лиза, Ника и Клэр. Их лица 
выпачканы сажей от паровоза, но ведь одна может видеть только 
двух других девушек, и она смеется над ними. И вдруг одной из них 
(Лизе) приходит в голову мысль, что и ее лицо испачкано сажей, 
и она прекращает смеяться. Цепочка ее рассуждений может выглядеть следующим образом: если бы мое лицо было чистое, то Ника, 
которая видит, что Клэр смеется, додумалась бы, что та смеется над 
ней, и в итоге прекратила бы смеяться. Так как она не перестает, 
у меня лицо тоже испачкано. Общее знание — это та информация, 
которая доступна всем, и все думают, что она доступна им и всем 
остальным. В ситуации с тремя девушками Лиза в своих размышлениях исходила не только из того, что ее подруга Клэр смеется, 
но и из того, что Ника знает, что Клэр смеется. Благодаря исследованиям Ауманна стали рассматриваться наиболее реальные ситуации. Каждый игрок, как правило, обладает неполной информацией о возможностях других участников — фирма может не знать 
точно параметров технологии, доступной конкуренту, а государства 
обладают лишь приблизительной информацией о численности 
и вооружении иностранных армий. Вместе с тем некоторые аспекты 
информации известны всем сторонам, а также известно, что эти параметры всем известны, и т.д. При принятии решения каждая сторона должна не только учитывать информацию, имеющуюся у нее 
самой, но и знать, доступна ли эта информация другим сторонам. 
Кроме того, Ауманн доказал, что игрок, взявший на себя долговременные обязательства и соблюдающий их, имеет несомненные 
преимущества перед тем, кто берет на себя краткосрочные обязательства или не соблюдает вообще никаких обязательств. Лучшего 
результата добиваются стратегии, которые меньше заинтересованы 
в выгоде «сейчас» и больше в выгоде «потом».
Если брать разработки советских ученых в теории игр, то одним 
из самых известных исследователей в этой области является 
Н.Н. Воробьев. Он усиленно занимался теорией вероятностей, 
а также математической логикой. В 1950-е гг. его внимание привлекла новая, только начинавшая формироваться область математики — теория игр. Статья «Управляемые процессы и теория игр», 
опубликованная в 1955 г., стала его первой работой по теории игр. 
В итоге в 1960-х гг. он разработал механизм решения биматричных 
игр, т.е. игр, которые представляют собой конфликтную ситуацию 
для двух игроков. В этом случае математическая модель будет 

представлять собой биматрицу. Впоследствии этот метод был назван алгоритмом Воробьева — Куна.
В 1959 г. в журнале «Успехах математических наук» была опубликована его работа «Конечные бескоалиционные игры». В 1961 г. 
была открыта лаборатория по исследованию теории игр, которой 
Воробьев руководил до конца жизни и которая сохранилась 
до наших дней. В том же году ученый защитил докторскую диссертацию, в основу которой легли коалиционные игры. Он предположил, что игроки могут участвовать сразу в нескольких коалициях.
В 1984 г. он выпустил монографию «Основы теории игр. Бескоалиционные игры», в которой рассмотрел конечные бескоалиционные, антагонистические и матричные игры. Позже эта монография была переведена на английский язык.
За исследования в области теории игр было присуждено несколько нобелевских премий: в 1994 г. — Дж. Нэшу, Дж. Харшаньи и Р. Зелтену за успехи в области экономики; в 2005 г. — 
Т. Шеллингу и Р. Ауманну «За обогащение нашего понимания 
природы конфликтов и сотрудничества при помощи аппарата 
теории игр» [1]; в 2007 г. — Л. Гурвицу, Э. Маскину, Р. Майерсоне за проведение исследований рыночного механизма, который 
связан с теорией игр. В 2012 г. Нобелевскую премию получили 
Э. Рот (Гарвардский университет, США) и Л. Шепли (Калифорнийский университет, США) за теорию стабильного распределения и практическое применение рыночных моделей. Работы 
этих ученых (Шепли — в области теории, Рота — в практическом 
использовании методов Шепли) затрагивают прикладное применение в экономике: как сконструировать конкретные рынки так, 
чтобы они работали должным образом. Премия вручена за решение основной проблемы экономики — проблемы оптимального 
взаимодействия различных экономических агентов. Л. Шепли, 
используя теорию кооперативных игр, разработал методы соотнесения экономических агентов. Э. Рот использовал математические 
алгоритмы Шепли, чтобы распределить учащихся по школам 
в Нью-Йорке и свести нуждающихся в пересадке почки с донорами. Он разработал метод, которых позволял старшекласснику 
выбрать наиболее подходящую ему школу, а школе — получить 
наиболее подходящего ученика.
И в настоящее время многие ученые заняты разработкой исследований в области теории игр, так как данная наука позволяет 
достичь более эффективного результата при принятии важных решений.