Количественные методы в экономических исследованиях


Количественные методы в экономических исследованиях

Количественные методы в экономических исследованиях


Под редакцией
доктора экономических наук, профессора М.В. Грачевой, доктора экономических наук, профессора Ю.Н. Черемных, кандидата экономических наук, доцента Е.А. Тумановой

Второе издание, переработанное и дополненное

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (080100)

Рекомендовано Учебно-методическим центром «Профессиональный учебник» в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (080100)



Соответствует Федеральным государственным образовательным стандартам третьего поколения





ю н и т и UNITY

Москва • 2017

УДК 330.43(075.8)
ББК 65в6я73
     К60

Рецензенты:
д-р экон. наук, проф. К.В. Папенов
(зав. кафедрой экономики природопользования экономического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова) д-р экон. наук, проф. Ю.Н. Гаврилец
(зав. лабораторией «Математическая социология» ЦЭМИ РАН)




Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвили, кандидат юридических наук, доктор экономических наук, профессор, лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники




         Количественные методы в экономических исследованиях: К60 учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления / Под ред. М.В. Грачевой, Ю.Н. Черемных, ЕА Тумановой. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2017. — 687 с.

         ISBN 978-5-238-02331-1

         Учебник посвящен решению экономических задач с помощью количественных методов. Изложен широкий круг проблем и методов классического математического анализа, линейной алгебры, математического программирования, теории игр, теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов и нечетких множеств. Разнообразные примеры и задачи иллюстрируют применение рассмотренных методов. Представленные разделы относятся к циклу фундаментальных математических дисциплин, изучение которых является обязательным для подготовки специалистов в области экономики.
         Для студентов, аспирантов и преподавателей экономических факультетов университетов и экономических вузов, экономистов, научных работников.

ББК 65в6я73

ISBN 978-5-238-02331-1

© ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 2004, 2013
Принадлежит исключительное право на использование и распространение издания (ФЗ № 94-ФЗ от 21 июля 2005 г.).
Воспроизведение всей книги или любой ее части любыми средствами или в какой-либо форме, в том числе в интернет-сети, запрещается без письменного разрешения издательства.
© Оформление «ЮНИТИ-ДАНА», 2013

                                  50-летию кафедры математических методов анализа Экономического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова
посвящается


            От авторов


    Учебник посвящен решению экономических задач с помощью количественных методов. Термин «количественный» означает, что речь идет о тех математических методах, которые применяются для описания и анализа вычисляемых (а не абстрактных) моделей экономики, решения которых могут быть доведены до конкретной числовой формы. Вычисляемые модели экономики отличаются от абстрактных тем, что параметры и экзогенные переменные первых (в отличие от вторых) формируются на базе реальных (или экспертных) данных.
    Абстрактные модели могут быть только теоретическими, вычисляемые — как прикладными, так и теоретическими.
    В учебнике изложен широкий круг проблем классического математического анализа, линейного и выпуклого программирования, теории игр, теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов.
    Особое внимание уделено геометрическим иллюстрациям и экономическим приложениям.
    Элементы математического анализа, линейного и выпуклого программирования относят к циклу фундаментальных математических дисциплин, изучение которых обязательно для студентов экономических факультетов государственных университетов. Они интересны и сами по себе, так как являются основой математической культуры, необходимой современному экономисту, занимающемуся как теоретическими, так и прикладными проблемами.
    Материал, включенный авторами в главы 1—4, традиционный: элементы теории неявных функций, классические методы оптимизации, симплексный метод решения задач линейного программирования и его обоснование, теория двойственности, транспортная задача, выпуклое программирование и элементы теории штрафных функций.
    В главе 5, посвященной теории игр, излагается математическая сторона вопроса и обсуждаются экономические приложения. Рассмотрены основные вопросы теории матричных и биматричных игр: решения в чистых и смешанных стратегиях, теорема Неймана, связь с линейным программированием, равновесие по Нэшу, эффективность по Парето, широко используются геометрические методы.
    В главах 6—9, посвященных теории вероятностей и математической статистике, уделяется внимание специфике вероятностно-статистического способа рассуждений.
    Учебник направлен на формирование и развитие профессиональных компетенций в области прикладного экономического анализа.
    В результате изучения теоретической составляющей учебника студенты будут знать:
    • постановку и решение основных задач математического анализа, математического программирования и теории игр, вероятностностатистических методов и моделей;
    • современные проблемы, подходы и методы статистического исследования экономических процессов.

В результате освоения представленных в учебнике методов и моделей студенты будут уметь:
    •  формулировать и обосновывать выводы исследования, проведенного с помощью математических методов;
    •  интерпретировать решения, полученные с помощью рассматриваемых методов и моделей, в терминах исходной содержательной (экономической) задачи.
    •  формулировать теоретико-игровую модель конфликтной ситуации;
    •  решать вероятностно-статистические задачи вычислительного и аналитического характера для экономических приложений;
    •  определить стабильность эконометрических оценок, проверив их состоятельность и эффективность; проверить гипотезу о предполагаемом законе распределения и прогнозировать результат принятого решения;
    После изучения представленных материалов студенты будут владеть:
    •  навыками логических построений; методологией математического анализа;
    •  навыками работы с функциями, описывающими экономические явления; основными методами исследования функций на экстремумы;
    •  приемами и способами обработки экономической информации с помощью современных экономико-математических методов;
    •  методами нахождения и анализа оптимальных решений в задачах различного типа;
    •  навыками количественного анализа и выбора наиболее эффективных из них для исследования экономических данных;
    •  методами разработки вариантов управленческих решений и обоснования их выбора с учетом проведенных аналитических расчетов и использования количественных методов анализа данных;
    •  навыками интерпретации результатов моделирования и формулировки качественных выводов на основе проведенных количественных расчетов.

    В учебнике изложены классические разделы математических курсов, которые авторы читают на Экономическом факультете Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова:

   глава 1 — д-р экон. наук, проф. Ю.Н Черемных (п. 1.1—1.4)
            ст. препод. А.А. Любкин (п. 1.5)
   глава 2 — д-р экон. наук, проф. Ю.Н. Черемных (п. 2.1—2.5)
            ст. препод. А.А. Любкин (п. 2.6)
   глава 3 — канд. экон. наук, ассист. Я.А. Рощина (п. 3.1; 3.3.3)
            д-р экон. наук, проф. Ю.Н. Черемных (п. 3.2; 3.4) канд. экон. наук, доц. Б.Ф. Пахомов (п. 3.3.1; 3.3.2) канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.П. Оревков (п. 3.5) канд. экон. наук, доц. Б.Э. Слепак (п. 3.6)
   глава 4 — д-р физ.-мат. наук, проф. Е.Г. Белоусов
   глава 5 — канд. экон. наук, доц. А.Ю. Челноков (п. 5.1; 5,7; 5.8)
            д-р экон. наук, проф. Ю.Н. Черемных (п. 5.2—5.6)
   глава 6 — канд. физ.-мат. наук, доц. Л.Н. Фадеева
            канд. экон. наук, ассист. Я.А. Рощина
   глава 7 — канд. физ.-мат. наук, доц. Л.Н. Фадеева
   глава 8 — канд. экон. наук, доц. Е.Н. Лукаш
   глава 9 — д-р экон. наук, проф. М.Б. Грачева

I





                Элементы математического анализа







 Глава 1 Элементы математического анализа


 Глава 2 Классические методы оптимизации

Элементы математического анализа




        1.1. Основы теории множеств

    1.1.1. Основные понятия теории множеств

   Понятия «множество» и «элемент множества» относятся к начальным понятиям, которые строго не определяются, а поясняются примерами.
   Можно говорить о множестве жилых домов в поселке, множестве товаров данной партии, поступившей в магазин для продажи, о множестве точек данной прямой. «Под множеством я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно единое целое с помощью некоторого закона» (Г. Кантор, создатель теории бесконечных множеств).
   Предметы, составляющие множество, называются его элементами . Множества принято обозначать большими буквами (M, A, B , ...), а их элементы — малыми буквами (m , a , b, ...). То, что некоторый объект m является элементом множества M, записывается « m еM » и читается « m принадлежит М ». То, что объект z не является элементом множества M, записывается как « z i M» и читается « z не принадлежит М ».
   Если объекты m , n , p , q , ... составляют множество M, то это записывается так: M = {m, n, p, q,...}.
   Множество может быть задано в виде списка составляющих его элементов, т.е. путем перечисления его элементов.
   Список может быть как конечным (например, такой список {mi, m2, m3, m4}), так и бесконечным:
   а) множество студентов конкретной учебной группы (их фамилии действительно составляют список);
   б) множество всех пальто, сданных посетителями театра в гардероб (список таких пальто может быть составлен);
   в) множество цифр десятичной системы счисления
M = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

1. Элементы математического анализа и линейной алгебры

7

    г) множество всех натуральных чисел от 1 до числа к включительно: Nₖ = {1, 2, ..., k};
    д) множество всех натуральных чисел
N = {1,2, 3,... n,...};
    е) множество всех целых чисел
                       Z — {0, -1,1, -2, 2,...};
    ж)  множество всех рациональных чисел
             f        11   22     11    33   22    1
Q — з0, — 1,1, —, —, —, —, —, —, —, —, —, —, •••?
             [        22   11     33    11   22    J
     (если при выписывании элементов набора Q появляются дро-

би (например,

_2
2

—

—

2
1, — — 1), которые уже встречались ра-


     нее, то они либо вычеркиваются, либо на самом деле не выписываются) ;
   з)  множество гусей (а не уток), плавающих в деревенском пруду.


     Замечание. Напомним, что рациональным числом r называется p               p
  число вида — (т.е. r ——), где p е Z , q е N. Множество всех ра-q                  q
циональных чисел обозначается символом Q.
     Дроби r1 — —, Г2 — —, где -p¹- — несократимая дробь, а p2 — ар₁, q1              q 2    q1
  q 2 — а q1 (целое число а не равно нулю), равны между собой и изображают одно и то же рациональное число. Поэтому далее под рациональным числом r — — понимается только несократимая дробь.
                      q

   Список элементов множества Q (т.е. список всех рациональных чисел) можно составить следующим образом.
   Сначала выписываем множество всех натуральных чисел так, что каждое натуральное число имеет знаменатель, равный единице:
                      12 3 n
1 1’ 7 "’ 1’ ".
   Затем так, чтобы каждое натуральное число имело знаменатель, равный двум:
                       1 2_ 2 n _ , _ , _ , , _ , 222       2

I. Элементы математического анализа

                      и т.д. Получим следующую таблицу (матрицу) с бесконечным числом строк и столбцов.

              1 2. 3 4- 5 п
              1 1 1 1 1 '” т
11 5     n
              2  1 2  1  2 '" 2
              Т  2 з 45       n
              3  3 3  3  3 '” 3
              1  1  1 1 1     n
              k  k k  k  k    k


   В этой таблице оставим только несократимые дроби, а все сократимые дроби уберем (например, вычеркнем).
   Очевидно, любой элемент новой таблицы есть положительное рациональное число. Наоборот, любое положительное рациональное число обязательно присутствует в новой таблице в виде несократимой дроби.
   Составим бесконечный список из элементов новой таблицы по


следующей схеме:

Поставив в этот список пе-

         ред каждым положительным рациональным числом это же число со знаком минус и добавив нуль, получим полный список элементов множества Q:

Q = р, -1,1,

11    2 2
-- - — - - 2’2’ 1’1

         т.е. полный список всех рацио-

                                  нальных чисел.
    Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным, в противном случае — бесконечным. В примерах а—г приведены конечные множества, в примерах д—ж — бесконечные множества.
    Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом « 0 ».
    Пусть A и M — два множества, и пусть все элементы множества A являются элементами множества M, тогда множество A называется подмножеством (или частью) множества M, что записывается так: A с M и читается «A включено в M ». В частности, если m е M, то {т\с M. Множество M является своим подмножеством:

1. Элементы математического анализа и линейной алгебры

9

M с M. Пустое множество 0 и множество M называются несобственными подмножествами множества M, все остальные подмножества множества M называются собственными.
    Множество всех подмножеств множества M обозначается символом 2м. Символ 2м введен по аналогии с числом 2ⁿ всех подмножеств множества Nₙ — {1, ..., n}.
    Множества A и B называются равными, если A с B и B с A. Равенство множеств обозначается так: A — B. Если B с M и B ф M, то используют следующую запись: B с M.


    1.1.2. Операции над множествами


    Объединением (суммой) множеств A и B называется множество C (обозначаемое символом A U B), состоящее из всех тех эле

ментов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и B

(def),                 .
(рис. 1.1.1): C — A U B — {x|x е A v x е B}.

    Символ «v » означает союз «или», который понимается в соединительно-разделительном смысле.
    В общем случае объединение совокупности множеств Ai (i е I, где I — некоторое множество (конечное или бесконечное) индексов) есть множество C (обозначаемое символом U Ai), состоя-i е!
щее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Ai (i е I ).

C - A и B

Рис. 1.1.1

   Символ «и» — это стилизованная буква U (от англ. union — союз, объединение).

    Пересечением двух множеств A и B называется множество C (обозначаемое символом A n B), состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств A и B. Другими словами, пересечение множеств A и B — это общая часть этих множеств (рис. 1.1.2): (def)
C — A n B — {x|x е A л x е B}.
    Символ « л » означает союз «и».

C — A n B
Рис. 1.1.2