Геометрия для самоподготовки. 11 класс

Минск
«Вышэйшая школа»

11
11
класс
класс

äëÿ 
ñàìîïîäãîòîâêè

Ã.Í. Ñîëòàí  À.Å. Ñîëòàí
Геометрия

Пособие
для учащихся
учреждений общего среднего
образования

УДK 514(075.3/.4)
ББK 22.151я721
 
C60

Р е ц е н з е н т: заведующий кафедрой информационных технологий ГУО 
«Минский городской институт развития образования» кандидат педагогических наук Т.О. Пучковская

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или 
любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

Солтан, Г. Н. 
Геометрия для самоподготовки : 11-й класс : пособие 
для учащихся учреждений общего среднего образования / Г. Н. Солтан, A. Е. Солтан. – Mинск : Bышэйшая 
школа, 2016. – 191 с. : ил.
ISBN 978-985-06-2701-8.

Книга написана в соответствии с программой по математике для учреждений общего среднего образования. В ней изложен курс гео метрии 
11 класса в виде теоретических и практических материалов для самоподготовки, включены тесты для систематизации знаний и закрепления практических умений и навыков за 10–11 классы. 
Для учащихся учреждений общего среднего образования, гимназий, 
абитуриентов. Пособие будет полезным для самостоятельной рабо ты 
учащихся, а также при подготовке к экзаменам по математике.

УДK 514(075.3/.4)
ББK 22.151я721 

ISBN 978-985-06-2701-8 
© Cолтан Г.Н., Cолтан A.Е., 2016
 
© Oформление. УП «Издательство
 
 “Bышэйшая школа”», 2016

С60

Предисловие

Пособие написано в соответствии с программой по математике для учреждений общего среднего образования. В нем изложено содержание курса геометрии 11 класса и материалы для повторения курса геометрии 10–11 классов. Отличительной 
особенностью пособия является его компактность, наличие теоретических и практических материалов для самоподготовки, 
примеров решений разнообразных задач. Оно построено следующим образом. Определения понятий, теоремы и следствия из 
них выделены специальными шрифтами. Доказательства теорем краткие, но в то же время с достаточным аргументированием, ссылками на ранее изложенный теоретический материал. После объяснительного текста предложены контроль ные вопросы, которые предназначены для проверки усвоения 
теории и ее повторения. Во всех темах содержатся упражнения как для закрепления теоретических знаний и формирования практических умений и навыков, так и развития математических способностей, которые расположены по 
нарастающей степени сложности. Учитывая это, в пособии 
значительное внимание уделено вопросу решения задач разными способами. Ко всем разделам курса предлагаются тесты, самостоятельное выполнение которых позволит систематизировать 
знания 
по 
темам 
и 
целенаправленно 
подготовиться к конкурсным испытаниям. Также имеется 
«Приложение», в котором приведены таблицы приближенных 
значений синусов, косинусов (0°–90°) и тангенсов (0°–89°) 
углов. К упражнениям даются указания и ответы.
Желаем успехов!
Авторы

I. МНОГОГРАННИКИ И ПЛОЩАДИ
ИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1. Понятие многогранника

Понятие многогранника использовалось в предыдущих 
классах, рассмотрим более подробно их виды и свойства.
Фигура называется ограниченной, если для каждых двух 
ее точек расстояние между ними не превосходит длины некоторого отрезка. Точка называется граничной точкой для 
пространственной фигуры, если на любом сколь угодно малом расстоянии от нее существуют точки, принадлежащие и 
не принадлежащие ей, а множество всех граничных точек 
называется ее границей. Точка называется внутренней точкой пространственной фигуры, если на любом сколь угодно 
малом расстоянии от нее существуют только ее точки. Область – фигура в пространстве, состоящая из множества 
только ее внутренних точек, каждые две из которых принадлежат ломаной, содержащейся в этой фигуре. Область вместе с ее границей называется замкнутой областью. Геометрическим телом (кратко – телом) называется конечная 
замкнутая область, а его поверхностью – граница тела.
Многогранником называется ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, любые два из которых, имеющие общую сторону, не 
лежат в одной плоскости.
Призмы, пирамиды – примеры многогранников. Многоугольники, из которых состоит поверхность многогранника, 
называются его гранями, стороны этих многоугольников − 
ребрами, а их вершины – вершинами многогранника. Мно

гогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от 
плоскости, содержащей каждую его грань (рис. 1, а), невыпуклым, если он имеет хотя бы одну грань, по одну сторону 
от плоскости которой он не лежит (рис. 1, б). 

Грани выпуклого многогранника являются выпуклыми 
многоугольниками, углы этих многоугольников с указанными вершинами называются плоскими углами многогранника при этих вершинах. Грани выпуклого многогранника, имеющие общее ребро, называются соседними (или 
смежными). Двугранный угол многогранника – это двугранный угол между полуплоскостями, содержащими две 
его соседние грани. В школьном курсе геометрии изучаются преимущественно выпуклые многогранники, поэтому 
слово «выпуклый» часто не используется, если иное не 
предусмотрено.
Отрезок, соединяющий две вершины выпуклого многогранника, не принадлежащие одной грани, является его диагональю. Сумма площадей всех граней многогранника называется площадью его поверхности. Поверхность многогранника 
можно разрезать по нескольким ребрам и разместить все его 
грани в одной плоскости так, что получится некоторый многоугольник. Этот многоугольник называется  разверткой поверхности многогранника. На рис. 2, б, в показаны развертки поверхности многогранника, изображенного на рис. 2, а. 
На практике для получения модели многогранника, например при изготовлении ее из картона, сначала надо изготовить развертку его поверхности. 

Рис. 1

а
б

З а д а ч а. Существует ли многогранник, имеющий только 7 ребер?
Р е ш е н и е. Допустим, что такой многогранник существует. Если все его m граней – треугольники, то ребер в нем 
3
2
m . По условию 3
2
m  = 7, откуда m = 14
3 , чего быть не мо
жет, так как m – натуральное число, не меньшее 4. Если хотя 
бы одна грань многогранника является п-угольником, где 
п ≥ 4, то он имеет не менее 8 ребер. Следовательно, многогранника, имеющего только 7 ребер, не существует.
О т в е т: не существует.

1. Объясните, что называется многогранником. Приведите примеры многогранников.
2. Какой многогранник называется выпуклым, а какой – невыпуклым?

У п р а ж н е н и я

1. 
Какое наименьшее число: а) граней; б) ребер; в) вершин  
может иметь многогранник?
2. 
Изобразите многогранник: а) все грани которого – треугольники, но не тетраэдр; б) все грани которого – квадраты, но не куб.
3. 
Существует ли пятигранник, каждая грань которого – 
треугольник?

Рис. 2

а
б
в

4. 
Постройте многогранник, отличный от пирамиды, имеющий столько же вершин, сколько и граней. 
5. 
Нарисуйте развертку поверхности: а) правильного тетраэдра, ребро которого равно 2 см; б) прямоугольного 
параллелепипеда с измерениями 1, 2, 3 см.
6. 
Дан куб АВСDА1В1С1D1 с ребром 2 дм. В точке О – центре грани СС1D1D – находится паук. Найдите длину 
кратчайшего пути паука по поверхности куба до вершины А.
7. 
В прямоугольном параллелепипеде площадь основания-квадрата равна 144 см2, а его высота – 14 см. Найдите длину диагонали параллелепипеда.
8. 
Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 и 
17 см, а его диагонали образуют с плоскостью основания 
углы 45° и 30°. Найдите высоту параллелепипеда.
9. 
Докажите, что: а) квадрат диагонали прямоугольного 
параллелепипеда равен полусумме квадратов трех диагоналей граней, выходящих из одной вершины; 
б) диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 
сумме ортогональных проекций трех его ребер, выходящих из одной вершины, на диагональ параллелепипеда; в) сумма квадратов площадей боковых граней 
прямого параллелепипеда равна сумме квадратов площадей его диагональных сечений;  г) сумма квадратов 
длин диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов длин всех его ребер.
10. Докажите, что сумма двугранных углов при всех боковых ребрах параллелепипеда равна 360°.
11. Дан куб АВСDА1В1С1D1, ребро которого равно 1 дм. 
Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середина ребра АD и центры граней 
АА1В1В,  ВВ1С1С, СС1D1D.
12. Диагональ бруса, форма которого – прямоугольный параллелепипед, равна d, а сумма трех его измерений – k. 
Найдите площадь поверхности бруса.

2. Призма. Площадь поверхности призмы 

Пусть даны две параллельные плоскости α и β. Построим в 
плоскости α n-угольник А1А2А3…Аn и его параллельную проекцию на плоскость β – многоугольник В1В2В3…Вn. Тогда многоугольники А1А2А3…Аn, В1В2В3…Вn 
равны  и  равны отрезки: А1В1 = 
= А2В2 = … = АnВn. Если соединить отрезками каждую точку 
многоугольника А1А2А3…Аn с ее 
параллельной 
проекцией 
на 
плоскость β, то получится многогранник (рис. 3). Этот многогранник называется n-угольной 
призмой. 
Многогранник, две грани которого – равные п-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные п 
граней – параллелограммы, причем в каждом из них две 
стороны являются соответственными сторонами этих 
п-угольников, называется п-угольной призмой.
Два равных n-угольника, расположенных в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, параллелограммы – боковыми гранями призмы, а ребра призмы, 
лежащие в ее боковых гранях, – боковыми ребрами призмы. 
Из определения понятия призмы следует, что все ее боковые 
ребра равны, а каждые два боковых ребра параллельны. Фигура, образованная боковыми гранями призмы, называется 
ее боковой поверхностью. Сечение призмы плоскостью, проходящей через ее диагональ и боковое ребро, называется диагональным сечением призмы.
Понятие n-угольной призмы может быть непосредственно связано с видом движения фигур в пространстве – параллельным переносом, т.е. таким движением, при котором все 
точки фигуры перемещаются на одно и то же расстояние в 
одном и том же направлении. Например, нижнее основание 

Рис. 3

A1

An
A2

B2
B1

Bn

α

β

призмы (см. рис. 3) может быть получено параллельным переносом верхнего основания на отрезок А1В1 в направлении, 
заданном лучом А1В1.
Напомним, что если основанием призмы является параллелограмм, то она называется параллелепипедом. В параллелепипеде все грани – параллелограммы. Грани параллелепипеда, 
не имеющие общих ребер, называются противолежащими (или 
противоположными). В параллелепипеде противолежащие 
грани равны и параллельны (обоснуйте это самостоятельно). 
Перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания призмы, называется 
ее высотой. Высотой призмы называют также длину этого 
перпендикуляра, равную расстоянию между ее основаниями. Например, на рис. 4 А1Н – высота наклонного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1. 

Если боковые ребра призмы перпендикулярны ее основаниям, то призма называется прямой, а если не перпендикулярны – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру. В прямой призме каждая боковая грань и каждое 
диагональное сечение являются прямоугольниками.
Призма называется правильной, если она прямая и ее 
основания – правильные n-угольники. В правильной призме все боковые грани – равные прямоугольники.

Рис. 4

A

B
h

H
D

C

h

A1

B1
C1
D1

Площадью поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей всех ее боковых граней. Площадь S 
поверхности призмы выражается через площадь Sбок боковой поверхности и площадь Sосн основания призмы формулой S = Sбок + 2Sосн.
Т е о р е м а. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания на длину 
бокового ребра.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Все боковые грани прямой призмы 
являются прямоугольниками. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей этих прямоугольников, 
т.е. равна сумме произведений длин сторон основания призмы на длину ее бокового ребра. Отсюда получаем формулу  
Sбок = Росн · h, где Росн – периметр основания призмы, h – 
длина бокового ребра призмы.
Т е о р е м а. Площадь боковой поверхности наклонной 
призмы равна произведению периметра сечения призмы 
плоскостью, пересекающей каждое боковое ребро и перпендикулярной ему, и длины бокового ребра.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Все боковые грани наклонной призмы – параллелограммы, а все боковые ребра равны. Площадь 
боковой поверхности призмы равна сумме площадей этих параллелограммов. Указанное сечение призмы (кратко его называют перпендикулярным или 
ортогональным 
сечением) 
− 
многоугольник, каждая сторона которого перпендикулярна 
боковому ребру призмы и является высотой соответствующего 
параллелограмма, например в 
наклонном 
параллелепипеде 
(рис. 5). Отсюда получаем формулу: Sбок = Рперп.сеч · b, где 
Рперп.сеч – периметр перпендикулярного сечения призмы, b – 
длина ее бокового ребра. 
Рис. 5

A

B
C

D

M

N

K

P

B1

A1

C1

D1

b