Колебательные процессы. Учебный эксперимент


Н.Я. МОЛОТКОВ



            КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
            УЧЕБНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ












Издательский Дом
ИНТЕЛЛЕКТ

ДОЛГОПРУДНЫЙ
2013

Н.Я. Молотков
  Колебательные процессы. Учебный эксперимент: Учебное пособие / Н.Я. Молотков — Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2013. — 288 с.
ISBN 978-5-91559-131-7

  В пособии даются экспериментальные основы углубленного изучения колебательных процессов различной физической природы. Описаны демонстрационные опыты при изучении свободных, связанных, вынужденных колебаний и автоколебаний. Отдельные главы посвящены исследованию сложения колебаний, гармоническому анализу, параметрическим колебаниям. Исследуются свойства линейных и нелинейных цепей. Даются элементы импульсной техники и переходных процессов. Приведенные краткие теоретические сведения позволяют раскрыть единство теории и эксперимента, показать их глубокую взаимосвязь в изучении колебаний. Демонстрационный эксперимент разработан с учетом требований педагогической эргономики, многие опыты поставлены впервые.
  Для преподавателей физики классических, педагогических и технических университетов, студентов физических специальностей. Демонстрационные опыты могут быть использованы учителями школ при углубленном изучении физики.

ISBN 978-5-91559-131-7

© 2013, Н.Я. Молотков

                                    © 2013, ООО «Издательский Дом «Интеллект», оригинал-макет, оформление

         ОГЛАВЛЕНИЕ










  Предисловие............................................7

  Глава 1
  СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ.................................... 10
      1.1. Электромеханическаяаналогия................... 10
      1.2. Электрические методы исследования механических колебаний......................................... 15
      1.3. Исследование механических гармонических колебаний.22
      1.4. Исследование негармонических механических колебаний..........................................33
      1.5. Фазовая диаграмма механических колебаний.....36
      1.6. Маятник с переменным g.......................40
      1.7. Исследование затухающих механических и электрических колебаний..........................................43
      1.8. Гироскопическиймаятник...................... 54
      1.9. Колебания шарика в желобе....................56
    1.10. Исследование связанных колебаний различной природы.............................................59
    1.11. Свободные колебания в системах с одной и несколькими степенями свободы.....................71
    1.12. Свободные колебания системы с большим числом степеней свободы....................................75

  Глава 2
  СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ................................... 84
      2.1. Фазовращатели для электрических сигналов.....84
      2.2. Двухканальный коммутатор на герконах для осциллографа...................................89

-Ц, Оглавление

   2.3. Сложение двух колебаний одинаковых частот, совершающихся по одной прямой.....................90
   2.4. Сложение двух когерентных и некогерентных электрических колебаний...........................98
   2.5. Сложение когерентных колебаний, фазы которых образуют арифметическую прогрессию.............. 103
   2.6. Сложение колебаний близких частот........... 109
   2.7. Сложение колебаний кратных частот........... 114
   2.8. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний..... 116
   2.9. Сложение двух пар взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковых частот....... 122
  2.10. Сложение двух пар взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами................... 137
  2.11. Сложение двух когерентных колебаний, направленных под произвольным углом друг к другу..................................... 144
  2.12. Сложение колебаний в системе с большим числом степеней свободы................................. 151

Глава 3
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ................................ 154
   3.1. Гармонический анализ сигналов прямоугольной формы........................................... 154
   3.2. Соотношение между временными и спектральными характеристиками квазимонохроматических колебаний....................................... 159
   3.3. Исследование спектра затухающих колебаний... 163

Глава 4
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ............................... 166
   4.1. Электромеханическая аналогия вынужденных колебаний....................................... 166
   4.2. Исследование установления вынужденных колебаний. 170
   4.3. Фазовые соотношения при вынужденных колебаниях.. 177
   4.4. Явление резонанса........................... 182
   4.5. Влияние обратной связи на вынужденные колебания в контуре....................................... 185
   4.6. Вынужденные колебания в связанных системах.. 189

Оглавление —I 5

   4.7. Резонанс сверхвысокочастотныхколебаний.......... 193
   4.8. Вынужденные колебания в системе с большим числом степеней свободы........................... 194

Глава 5
ГЕНЕРИРОВАНИЕ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ.................... 204
   5.1. Понятие об автоколебательных системах...........204
   5.2. Механические автоколебательные системы..........206
   5.3. Изучение электрических автоколебательных систем.215
   5.4. Исследование воздействия обратной связи на собственные колебания в контуре................220
   5.5. Исследование процесса установления автоколебаний.....................................224

Глава 6
ЭЛЕМЕНТЫ ИМПУЛЬСНОЙ ТЕХНИКИ.............................228
   6.1. Релаксационные колебания........................228
   6.2. Генерирование колебаний с помощью туннельного диода.............................................231
   6.3. Мультивибраторы................................. 233
   6.4. Схемы логических операций И, ИЛИ, НЕ............239
   6.5. Триггеры........................................242
   6.6. Двоичный и двоично-десятичный счетчик импульсов.........................................248

Глава 7
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ...............................252
   7.1. Параметрические колебания механических систем...252
   7.2. Параметрическое и вынужденное колебания.........257
   7.3. Параметрические электрические колебания.........259

Глава 8
ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ..............................261
   8.1. Понятие о линейных и нелинейных цепях...........261
   8.2. Свойства линейных цепей.........................263
   8.3. Вольтамперные характеристики линейных и нелинейных элементов............................267

Оглавление

6

   8.4. Свойства туннельного диода......................269
   8.5. Комбинационные колебания........................272
   8.6. Амплитудная модуляция...........................274
   8.7. Многотональная амплитудная модуляция............278
   8.8. Фазовая модуляция...............................280
   8.9. Частотная модуляция.............................281
   8.10. Детектирование.................................283
   8.11. Гетеродинирование..............................286

Литература..............................................287

         ПРЕДИСЛОВИЕ










              В период кризиса наметилась тенденция существенного замедления темпов развития учебно-материальной базы высшей и средней школы, принижение роли демонстрационного физического эксперимента, что способствовало отрыву преподавания физики от «живой» науки и практики, от потребностей нашего общества. Ориентирование сферы образования на повышение интеллектуального потенциала человека требует пересмотра основной концепции обучения физике. На первый план выступает формирование не только знаний, но и развитие мышления, творческих способностей, достижение высокопродуктивной творческой деятельности обучаемых. Роль лекций, оснащенных современным демонстрационным физическим экспериментом, в решении этих задач существенно возрастает при условии использования продуктивных методов обучения. При этом необходимо поднять на качественно новую ступень теоретическую и практическую подготовку преподавателя физики. Повышению педагогического мастерства, улучшению подготовки преподавателя физики способствует методическая литература, в которой не только рассматриваются теоретические и экспериментальные методы исследования физических явлений, но и даются конкретные рекомендации по изготовлению современных приборов и их использованию в учебном процессе.
      Говоря о роли экспериментального метода в деле практической подготовки преподавателя физики, профессор МГУ А.Б Млодзеев-ский писал: «Невозможно изучать ботанику, не видя растений, или минералогию, не видя минералов; невозможно изучить и физику, не видя физических явлений, демонстрируемых на опыте»¹.

¹ Млодзеевский А.Б. О лекционных демонстрациях по физике // Методика и техника лекционных демонстраций по физике. — М.: Изд-во МГУ, 1964. — С. 6.

—I Предисловие

       Использование современного демонстрационного физического эксперимента повышает эмоциональное восприятие учебного материала, делает его наглядным и доступным.
       Изложение материала в пособии дается на основе единого подхода к изучению колебаний различной природы. Данный подход к изучению колебаний позволяет выявить общность физических явлений различной природы и методов их теоретического и экспериментального исследования. Плодотворность такого метода сравнений и аналогий общеизвестна не только в педагогической, но и научной мысли.
       Книга не перегружена математическими формулами. Там, где это возможно, автор стремился максимально использовать качественный подход к изучению вопросов теории колебаний. По мнению одного из выдающихся физиков Э. Ферми, «физическая сущность действительно понимаемого вопроса может быть объяснена без сложных формул»². В умении качественно объяснить сущность физических явлений и заключается истинное понимание математических уравнений, описывающих физические закономерности.
       Большинство экспериментов, описанных в пособии, могут быть успешно воспроизведены в физическом кабинете и использованы на занятиях по физике или в кружковой работе, а также при изучении факультативных и специальных курсов. Использование в ряде опытов современных технических средств (микросхем, герконов, светоизлучающих и туннельных диодов) не является самоцелью. Автор руководствовался желанием ознакомить преподавателей физики, работников физических кабинетов с современными методами экспериментального изучения колебаний и показать их методические возможности.
       В книге впервые подробно рассматривается использование электрических методов регистрации механических движений при исследовании колебательных процессов, что позволяет не только значительно расширить возможности экспериментального метода, но и повысить наглядность изучаемых процессов путем отображения временных и фазовых графических характеристик на экране осциллографа. Наблюдая реальные временные и фазовые характеристики различных механических процессов, можно сделать важные выводы об основных закономерностях данных явле

        ² Цитата по: Понтекорво Б.М. Энрико Ферми. — М.: Знание, 1971. — С. 27.

Предисловие —I9

    ний и их сущности. Значение подобных наглядных образов, отражающих некоторые стороны внутренней сущности изучаемых явлений и воспроизводимых осциллографом одновременно с натуральными объектами, в современном физическом эксперименте очень велико. Демонстрационный эксперимент на уровне сущности явлений получил широкое распространение не только при изучении механических явлений, но и, например, оптических. Многие учебные эксперименты реализованы впервые: гироскопический маятник, соотношение между временными и спектральными характеристиками квазимонохроматических колебаний, воздействие обратной связи на свободные и вынужденные колебания в контуре, сложение колебаний, направленных под произвольным углом друг к другу, и сложение двух пар взаимно перпендикулярных колебаний. Эти вопросы по сложению колебаний имеют аналогии в оптике.
    Учитывая, что на основе колебаний излагаются многие вопросы современной физики, углубленное исследование колебаний в средней и высшей школе на основе современного эксперимента будет способствовать прочному усвоению обучаемыми вопросов акустики, электро- и радиотехники, волновой оптики, атомной и ядерной физики.
    Цель настоящей книги — помочь преподавателям вузов, учителям, работникам физических кабинетов в постановке современного натурного физического эксперимента для изучения колебательных процессов.
    Автор выражает благодарность О.В. Ломакиной и В.О. Смирновой, принимавших участие в подготовке рукописи к изданию.

ГЛАВА


    СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ


1

1.1. ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ

   Механическая система        Электрическая система     
 Мгновенное смещение          Мгновенное значение       
относительно положения   X   электрического заряда Ч    
      равновесия                                        
       Скорость        V = X   Электрический ток   I = q
      Ускорение        а = х  Скорость изменения   •    
                                     тока          I = Ч
      Масса тела         т   Индуктивность         L    
     Коэффициент         г         Активное        R    
    сопротивления                сопротивление          
     Внешняя сила        F   Внешняя ЭДС           е    
Отношение силы тяжести  mg         Величина,         £  
   к длине маятника      1     обратная емкости      С  

           Для пружинного маятника величиной, аналогичной 1/С, является жесткость К. В связи с этим для получения соотношений, справедливых для пружинного маятника, необходимо в формулах математического маятника сделать подстановку


4 ^ £.

I т

(1-1)


    ¹ Точкой над переменной величиной обозначается дифференцирование по времени t.

1.1. Электромеханическая аналогия

Дт ¹¹

Рис. 1.1

       Уравнения, описывающие колебания в механической и электрической системах

   Второй закон Ньютона при достаточно малых смещениях тела:


mg тх - —— х;

                                                                       (1.2а)

X + — х - 0.
I


    Второе правило Кирхгофа для замкнутого контура:


Lq + C q - 0;

4 + j^q - 0.

                                                                      (1.2б)




    Принято обозначать:



— = ®о;

                                                                       (1.3а)


1     ,.2
LC ~ Ш°.

                                                                      (1.3б)

¹² Д.

Глава 1. Свободные колебания

Уравнения принимают вид:

х + т0 х = 0;                                       (1.4а)
q + о qq = 0.                                       (1.4б)
Решения этих уравнений (что легко проверить подстановкой)  
имеют вид:                                                 
Х = Хт COS (®0? + % ) >                             (1.5а)
где хт --- амплитуда колебаний;                           
Q = Qm cos (®о? + Ро) 1                             (1.5б)
где qm --- амплитудное значение заряда.                   

   Аргумент гармонической функции (ц>₀t + ^₀) принято называть фазой, а его значение (р₀ в начальный момент времени (t = 0) — начальной фазой. Постоянные величины хт, qₘ и р₀ определяются начальными условиями возбуждения колебаний. В системах, описываемых уравнениями (1.4а) и (1.4б), возникают незатухающие гармонические колебания, период которых называется периодом собственных колебаний:


Т -     - 2я Я;                   (1.6а)
®о

Т - — - 2яVZC.                    (1.6б)
                           ®о



      Свободные затухающие колебания
   Уравнения, описывающие колебания:
   • в механической системе с трением, сила которого пропорциональна первой степени скорости FT = — гх


■ mg тх = -гх —у-х


или

.. г . g п
х + — х + ~х = 0; т I


(1.7а)

1.1. Электромеханическая аналогия

• в электрическом контуре с активным сопротивлением R

Lq + Rq + ^ q = 0

или

.. . R . .1
q + —q +--q = 0.
L L LC¹

(1-76)

где

где

Полученные уравнения принято записывать в виде: • для механической системы

х + 2а х + щ, х = О,

(1.8а)

(1-9а)

• для электрического контура

q + 2а q + ® qq = О,

(1.86)

(1.96)

    Коэффициент а называется показателем затухания. Решение уравнений (1.8а) и (1.86) приводит к следующим результатам.
    1. а< й>₀. Потери энергии в системе малы. Решение имеет вид:

:те а‘ cos («>t + ^₀);

(1.10а)

г
a = т—;
2 m

R а = —.
2 L

4 = Vme “'COS (^t + ^0 ) >


(1.106)

где е =2,718 — основание натуральныхлогарифмов;


Щ₍~ - а‘.

(1.11)


   Постоянные величины xₘ, qₘ и p₀ определяются начальными условиями воз6уждения коле6аний. Вследствие затухания коле6а-ния в системе не являются строго периодическими. Под их периодом Т = 2я/а> о6ычно понимают интервал времени между двумя последовательными максимальными отклонениями от положения рав-

Л

Глава 1. Свободные колебания

новесия в одну сторону. Как видно из решений (1.10а) и (1.106), амплитуда свободных колебаний в реальной системе убывает со временем по экспоненциальному закону. Логарифмический декремент затухания определяет отношение двух любых последовательных максимальных смещений, разделенных во времени одним периодом:

8 = In X'" = а Т = 2л- —
Xm(t+T)             С°

(1.12)

и характеризует относительную убыль амплитуды колебаний за период. Добротность колебательной системы обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания и определяет относительные потери энергии за период:

п - л - в> - л
У “ “ 2а “ Тл'

(1.13)

   2. а> о»₀. Потери энергии в системе велики. При большом трении в механической системе движение имеет апериодический характер и возникновение в ней колебаний становится невозможным. При достаточно большом активном сопротивлении колебательного контура в нем происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление, при превышении которого в системе нет колебаний называется критическим. Оно находится из условия а= о>₀:

гкР  2 т^;

Дф =²

или

гкр = ² р;
4р = 2 Р,

(1.14а)


(1.14б)



(1.15а)

(1.15б)



где р — волновое сопротивление маятника для механической системы,

Р

= т.

(1.16а)